Frage von Edisss, 22

Wie forme ich den Energieerhaltungssatz um?

Ich weiß das Ekin=Epot ist.

Wie forme ich mgh=1/2mv^2 nach v um? Oder nach h?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 2

Ich weiß das Ekin=Epot ist.

Allerdings ist nicht für einen gegebenen Zeitpunkt t₁

(1.0) Eₖ(t₁) = Eₚ(t₁) *),

sondern für zwei verschiedene Zeitpunkte t₁ und t₂ kann

(1.1) Eₖ(t₁) = Eₚ(t₂)

oder

(1.2) Eₖ(t₂) = Eₚ(t₁)

sein, wenn in (1.1) Eₖ(t₂) = Eₚ(t₁) = 0 und in (1.2) umgekehrt ist, und zwar nur dann, wenn v vertikal bzw. radial ist. Gibt es eine horizontale bzw. tangentiale Bewegungskomponente, wird v nie 0.

In jedem Falle ist

(2.1) Eₖ(t₁) + Eₚ(t₁) = const.

Dass sich dies in Newton'scher Näherung und einer kleinen Umgebung der Erdoberfläche (h=0) überhaupt als

(2.2) ½·m·v²(t₁) + m·g·h(t₁) = const.

schreiben lässt, liegt vor allem daran, dass der Nullpunkt von Eₚ willkürlich setzbar ist, ohne dass das die Physik veränderte.

Die eigentliche Formel im Gravitationsfeld eines Himmelskörpers der Masse M im Abstand r vom Schwerpunkt des Himmelskörpers (unter Annahme einer kugelsymmetrischen Massenverteilung) ist nämlich

(3.1) Eₚ = –G·m·M/r + Eₚ_[∞],

wobei G die Gravitationskonstante ist und Eₚ_[∞] willkürlich wählbar ist. Im Allgemeinen wird

Eₚ_[∞] = 0

gesetzt, denn es ist plausibel, dass weit weg von schweren Massen, etwa in einem Void, das Gravitationspotential 0 sein sollte. Man kann aber auch

Eₚ_[∞] = +G·m·M/R

setzen, wobei R der Radius des Himmelskörpers respektive das gesetzte Nullniveau des Gravitationspotentials ist. Mit h ≪ R ist dann

(3.2) Eₚ = G·m·M(1/R – 1/(R+h)) = G·m·M(h(R²+Rh))
              ≈ m·(G·M/R²)·h = m·g·h.

Wonach man am besten umformt, hängt davon ab, was genau man wissen will. Dann kann man, je nachdem, ob man etwas mit v von h=0 aus in die Luft schießt und wissen will, wie hoch es steigt (Gleichung (1.1)), oder mit der Anfangsgeschwindigkeit  v=0 aus einer Höhe h fallen lässt und wissen will, wie schnell es bei h=0 ist (Gleichung (1.2)).
Beides versteht sich natürlich ohne Luftwiderstand, der aber ohnehin Energie wegtransportiert. 

In diesem Fall kannst Du es so umformen wie von kindgottes92 dargestellt. Bemerke, dass m sofort in beiden Fällen herausfällt.

Wenn Wurzeln gezogen werden müssen, muss man allerdings ein bisschen aufpassen, denn das Quadrieren ist keine umkehrbar eindeutige Funktion.

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*) Unicode, geschrieben als »Eₖ = Eₚ«. In Chromium-verwandten Browsern lassen sich diese direkt in das Fenster eingeben, mit STRG+X auschneiden bzw. SRTG+C herauskopieren und mit UMSCHALT+STRG+V die Inhalte wieder einfügen.

Was in Unicode wie dargestellt wird, 

Antwort
von kindgottes92, 12

Simple Mathematik:

mgh=1/2mv² | *2  | :m

2gh=v²  | Wurzel

v=wurzel(2gh)

oder nach h:

mgh=1/2mv² |:mg

h=v²/2g

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