Wie forme ich den Energieerhaltungssatz um?
Ich weiß das Ekin=Epot ist.
Wie forme ich mgh=1/2mv^2 nach v um? Oder nach h?
2 Antworten
Ich weiß das Ekin=Epot ist.
Allerdings ist nicht für einen gegebenen Zeitpunkt t₁
(1.0) Eₖ(t₁) = Eₚ(t₁) *),
sondern für zwei verschiedene Zeitpunkte t₁ und t₂ kann
(1.1) Eₖ(t₁) = Eₚ(t₂)
oder
(1.2) Eₖ(t₂) = Eₚ(t₁)
sein, wenn in (1.1) Eₖ(t₂) = Eₚ(t₁) = 0 und in (1.2) umgekehrt ist, und zwar nur dann, wenn v vertikal bzw. radial ist. Gibt es eine horizontale bzw. tangentiale Bewegungskomponente, wird v nie 0.
In jedem Falle ist
(2.1) Eₖ(t₁) + Eₚ(t₁) = const.
Dass sich dies in Newton'scher Näherung und einer kleinen Umgebung der Erdoberfläche (h=0) überhaupt als
(2.2) ½·m·v²(t₁) + m·g·h(t₁) = const.
schreiben lässt, liegt vor allem daran, dass der Nullpunkt von Eₚ willkürlich setzbar ist, ohne dass das die Physik veränderte.
Die eigentliche Formel im Gravitationsfeld eines Himmelskörpers der Masse M im Abstand r vom Schwerpunkt des Himmelskörpers (unter Annahme einer kugelsymmetrischen Massenverteilung) ist nämlich
(3.1) Eₚ = –G·m·M/r + Eₚ_[∞],
wobei G die Gravitationskonstante ist und Eₚ_[∞] willkürlich wählbar ist. Im Allgemeinen wird
Eₚ_[∞] = 0
gesetzt, denn es ist plausibel, dass weit weg von schweren Massen, etwa in einem Void, das Gravitationspotential 0 sein sollte. Man kann aber auch
Eₚ_[∞] = +G·m·M/R
setzen, wobei R der Radius des Himmelskörpers respektive das gesetzte Nullniveau des Gravitationspotentials ist. Mit h ≪ R ist dann
(3.2) Eₚ = G·m·M(1/R – 1/(R+h)) = G·m·M(h(R²+Rh))
≈ m·(G·M/R²)·h = m·g·h.
Wonach man am besten umformt, hängt davon ab, was genau man wissen will. Dann kann man, je nachdem, ob man etwas mit v von h=0 aus in die Luft schießt und wissen will, wie hoch es steigt (Gleichung (1.1)), oder mit der Anfangsgeschwindigkeit v=0 aus einer Höhe h fallen lässt und wissen will, wie schnell es bei h=0 ist (Gleichung (1.2)).
Beides versteht sich natürlich ohne Luftwiderstand, der aber ohnehin Energie wegtransportiert.
In diesem Fall kannst Du es so umformen wie von kindgottes92 dargestellt. Bemerke, dass m sofort in beiden Fällen herausfällt.
Wenn Wurzeln gezogen werden müssen, muss man allerdings ein bisschen aufpassen, denn das Quadrieren ist keine umkehrbar eindeutige Funktion.
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*) Unicode, geschrieben als »Eₖ = Eₚ«. In Chromium-verwandten Browsern lassen sich diese direkt in das Fenster eingeben, mit STRG+X auschneiden bzw. SRTG+C herauskopieren und mit UMSCHALT+STRG+V die Inhalte wieder einfügen.
Was in Unicode wie dargestellt wird,
Simple Mathematik:
mgh=1/2mv² | *2 | :m
2gh=v² | Wurzel
v=wurzel(2gh)
oder nach h:
mgh=1/2mv² |:mg
h=v²/2g