Wie erkennt man einen Sattelpunkt?
Also, wenn wir z.B. die Gleichung x^3 haben, dann ist ja klar, dass x=0 ein sattelpunkt ist, aber wie kann man das mit Ableitungen berechnen? Also die 1. und 2. Ableitungen sind ja x=0 und die 3. x=6
Also, mit der ersten Ableitung findet man sozusagen heraus, dass bei x=0 eine extrema vorliegt. Mit der 2. Ableitung findet man heraus, dass diese extrema die Steigung 0 hat. Und mit der 3. überprüft man, ob das ein sattelpunkt ist. Was, wenn die 3. Ableitung auch 0 wäre? Wäre es dann gar nichts? Also jetzt ist es zwar 6, was bedeutet, dass es einebnen Wendepunkt bei x=0 gibt, der die Steigung 0 oder 6 hat? Und woher weiß man, dass das ein Sattelpunkt ist?
2 Antworten
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der Steigung 0.
Also ganz einfach: die ersten beiden Ableitungen müssen 0 sein und die dritte darf es nicht sein.
Achso das noch: wenn die 3. Ableitung auch 0 wäre, dann wäre das was flach ist, kein Punkt, sondern eine längere flache Strecke.
?? Wieso 6? Ja, die 3. Ableitung ist die Steigung der 2. Und wenn wenn also auch die 3. Ableitung 0 ist, dann ändert sich die Krümmung in dem Punkt nicht (und ja auch die Steigung nicht, weil die 2. Ableitung 0 ist und die Steigung selbst ist genau 0, weil die 1. Ableitung 0 ist. mit anderen Worten: die Kurve ist flach und deshalb kann man nicht von einem Sattelpunkt sprechen. Sonst bestünde eine flache Gerade nur aus Sattelpunkten :-)
In Deinem Beispiel x^3 gilt
- Ableitung: y'=3x^2
- Ableitung. y''=6x
- Ableitung y'''=6
Für x= 0 ist also y = 0, y'=0, y''=0 und y'''=6 -> Sattelpunkt.
Zum Weiterdenken:
f(x) = x^4 hat bei x=0 ein lok. Minimum
f(x) = x^5 hat bei x=0 einen Sattelpunkt
(Falls du einen grafischen Taschenrechner hast, kannst du dir das ja zur Veranschaulichung zeichnen lassen, oder am PC mit GeoGebra)
Aber die 3. Ableitung ist doch die Steigung der 2. Ableitung. Also wäre die Steigung dann nicht 6?