Wie beweise ich das x^2 und 1/x nicht gleichmäßig stetig ist?

Ich denke du kennst die Definition gleichmäßiger Stetigkeit.

Du musst also zeigen, dass es es Epsilon gibt, so dass für kein Delta die entsprechende Definition erfüllt ist.

Im Fall f(x) = 1/x kannst du z.B. Epsilon = 1 wählen und gibts dir ein beliebiges Delta größer Null vor (Falls die Bedingung für dieses beliebige Delta nicht erfüllt ist, dann insbesondere auch für kein spezielles).

Es ist nur klar, dass es ein N gibt mit 1/n < Delta für alle n > N.

Nun betrachtet man die zwei Punkte x = 1/n und y = 1/(n+1).

Es gilt |x - y| < 1/n < Delta für alle n größer N, aber

|f(x) - f(y)| = |1/x - 1/y| = |n - (n+1)| = 1 >= Epsilon, also nicht kleiner Epsilon.

Somit folgt, dass du ein Epsilon gefunden hast, so dass für alle Delta niemals die gleichmäßige Stetigkeit in allen Punkten n > N erfüllt ist.

Den Fall f = x² schaffst du bestimmt auch jetzt so, wenn du Lösungsvorschläge hast kannst du sie auch gerne wieder hier rein posten.

Die Ableitung bilden.

Die erste Ableitung ist der Hochpunkt/Tf

x^2

f‘(x)= 2x