Frage von metalhead998, 41

Wie bestimmt man hier die maximalen Monotonieintervalle?

Hallo,

die Funkion lautet fa(x)=x^3-ax. Jetzt soll man hier die maximalen Monotonieintervalle in Abhängigkeit vom Parameter a bestimmen. In der Schule haben wir die Ableitung gemacht und dann diese einmal >, einmal < und einmal = 0 gesetzt, also die Fallunterscheidung. Was muss ich aber jetzt tun? Beim 1. Fall für a/3<0 kam heraus, dass es diese nicht gibt, beim 2. Fall für a/3>=0 kam eine doppelte Nullstelle bei -√(a/3) und √(a/3) heraus. Aber was muss ich jetzt tun?!

Vielen Dank im Voraus!

Antwort
von eddiefox, 17

Hallo,

Du bist auf dem richtigen Weg: Fallunterscheidung. 

Es gilt: f'(x) = 3x² - a. Untersuchen wir die Nullstellen der Ableitung f':

f'(x) = 0 <=> 3x² = a

1) Ist a = 0, dann ist f'(x) = 3x² ≥ 0 für alle x ∈ ℝ, d.h. auf dem Intervall

]-∞; +∞[ ist f monoton steigend.

2) Ist a < 0 dann hat f'(x) = a keine Lösung und f'(x) > 0 für alle  x ∈ ℝ.

In dem Fall ist f streng monoton steigend auf dem Intervall ]-∞; +∞[.

3) Ist a > 0 , dann hat die Gleichung f'(x) = 0 zwei Lösungen :

x1 =  -√(a/3) und x2 = +√(a/3).

Im Intervall ]-√(a/3) ;+√(a/3)[ gilt: f'(x) < 0, d.h. auf diesem Intervall ist f

streng monoton fallend.

Auf den Intervallen ]-∞ ;-√(a/3)[ und   ]+√(a/3) ; +∞[ ist f'(x) > 0, also ist auf diesen zwei Intervallen f streng monoton steigend.

Kommentar von metalhead998 ,

Danke für die Antwort! Aber wie kommt man immer darauf, wo sie steigend und wo fallend ist? Wir haben das immer skizziert und wegen dem Parameter weiß ich jetzt nicht recht, wie ich das machen soll. Kann ich z.B. auch für a einfach einen positiven Wert einsetzen und diesen dann als Nullstelle nehmen oder sowas?

Kommentar von eddiefox ,

Ja der Parameter kann etwas verwirren.

Was massgebend ist ist das Vorzeichen der Ableitung. Ihr müsstet ein Theorem gehabt haben das besagt: f ist auf einem Intervall [a;b] streng monoton steigend genau wenn f'(x) > 0 auf [a;b].

(monoton steigend genau wenn f'(x) ≥ 0).

Das Gleiche mit f'(x) < 0 bzw. ≤ 0 (f streng monoton fallend bzw. monoton fallend.)

Konntest Du folgen?

Kommentar von eddiefox ,

Mit anderen Worten: ist a negatif, dann ist die Ableitung immer positiv. Ist a = 0, dann ist die Ableitung immer  ≥ 0. Ist a positiv, dann ist die Ableitung auf zwei Intervallen positiv und auf dem "mittleren" Intervall negativ. Dementsprechend ist dann die Monotonie der Funktion f.

Kommentar von metalhead998 ,

Danke, ich habe es mir gerade selbst ein wenig erschlossen. Ich habe geschrieben, dass wenn keine Nullstelle existiert, ist Gf nur oben, also sms und bei den beiden Nullstellen mit Parametern kommt ja die Ableitung von oben bei x^2, also muss sie dann bei den Nullstellen unter die x-Achse gehen.

Kommentar von eddiefox ,

Genau. Cf' ist eine nach oben geöffnete Parabel. Entweder liegt sie oberhalb der x-Achse (a < 0) und f'(x) ist auf ganz ℝ positiv, oder sie berührt sie (a=0) und f'(x) ≥ 0  oder sie schneidet die x-Achse 2mal (a >0) und f'(x) wechselt auf ℝ zweimal das Vorzeichen.

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