Frage von PeterZwegat88, 15

Wie bestimmt man die von einer Permutation erzeugte Untergruppe einer symmetrischen Gruppe?

Meine Permutation ist:

(1 2 3 4)

(2 4 1 3)

Das soll eine große Klammer darstellen Ich soll jetzt die Untergruppe von S4 bestimmen, die von dieser Permutation erzeugt wird. Am besten wäre es wenn ihr mir NICHT einfach nur die Antwort sagt, sondern am besten erklärt ihr mir wie ich das selber finde. Ich google schon den ganzen Abend nach einem Weg das zu machen aber die meisten Websites sind einfach zu kompliziert.

Antwort
von kreisfoermig, 9

Die Permutation schreibt man als g = (1 2 4 3). Berechne nun systematisch die Permutationen g^0=e, g^1=g, g^2=(g^1)g, g^3=(g^2)g, … bis du die Identitätspermutation erhältst. Das passiert bei n=4. Dann gilt <g> = {1,g,g^2,…,g^(n–1)}.

In jeder Gruppe G ist die durch g€G erzeugte Untergruppe immer dieser Form, solange g^n=e für ein n>0.

Diese Aufgabe ist saueinfach, und womöglich  deshalb findest du beim Googeln nichts. Das Thema ist „Zyklische Untergruppen“, „Ordnung von Elementen in Gruppen“.

Kommentar von PeterZwegat88 ,

Danke für deine Antwort, aber diese Schreibweisen sind mir komplett unbekannt und ich finde sowas auch nicht bei uns im Vorlesungsskript. Meinst du du könntest das noch ein wenig vereinfachen oder war das schon das einfachste was geht?

Kommentar von kreisfoermig ,

Die Schreibweise solltest du kennenlernen. Bei jedem Mathematiker, der Algebra lehrt, und in praktisch allen Literaturquellen für Algebra, verwendet man standardgemäß die folgenden Konventionen.

Defn. Seien G eine Gruppe und A⊆G. Dann bezeichne man <A> die kleinste Untergruppe H mit H⊇A. Man nennt <A> auch die durch A erzeugte Untergruppe.

Konvention. Ist A endlich, d. h. A={g₁,g₂,...}, so schreibe man <g₁,g₂,…> statt <{g₁,g₂,...}>. Inbesondere bezeichnet <g> die kleinste Untergruppe von G, die g enthält.

Defn. Sei σ ein Element der Permutationsgruppe auf {1,2,…,n}. Ist σ ein Zyklus, so schreibe man
                                 σ = (k₁ k₂ … kᵦ)
Wobei k₁ k₂ … kᵦ paarweise verschieden sind und {k₁,k₂,…,kᵦ} = {k |  σ(k)≠k}, und σ(k_{i}) = k_{i+1} für alle i.

__________

*  Allgemeiner: ist X eine Struktur und X₀ ⊆ X, bezeichne man mit <X₀> die kleinste Unterstruktur—d. h. unter allen Operationen stabil—, die X₀ enthält.

Kommentar von eddiefox ,

Hallo kreisfoermig,

auf das Schreiben in den blauen Codefeldern, das eine klarere visuelle Darstellung möglich macht, bin ich übrigens durch deine Beiträge gekommen.

Gruss

Kommentar von kreisfoermig ,

Hey, [eddiefox]! Gerne! Ich bin selber nur deswegen darauf gekommen, weil ich quasi alles Mögliche ausprobiert hatte, bis ich halbwegs LaTeX-aussehende Textbearbeitung hinkriegen konnte. GF bleibt in der Hinsicht noch in der Steinzeit im Vergleich zu dem, was die Russen und US-Amerikaner auf ihren Foren anbieten, aber für das blaue Feld können wir dankbar sein ; )

Antwort
von Melvissimo, 15

Sagen wir, deine Permutation hat den Namen a.

Du suchst die "kleinste" Untergruppe, die a enthält.

Da die Untergruppe a enthalten soll, muss {a} eine Teilmenge davon sein. Ist {a} schon eine Untergruppe? Dann wären wir fertig!

Dafür müssen wir prüfen: 

  1. Ist {a} abgeschlossen unter der Inversion?
  2. Ist {a} abgeschlossen unter der Gruppenverknüpfung?
  3. Ist {a} nicht leer?

Für den ersten Punkt müssen wir prüfen, ob a^(-1) bereits in {a} enthalten ist. Rechne das also nach. Falls a^(-1) in {a} liegt, ist erstmal alles in Ordnung. Ansonsten musst du es manuell hinzufügen (denn jede Gruppe, die a enthält, muss auch a^(-1) enthalten), sodass dein neuer Kandidat dann {a, a^(-1)} lauten würde. Dann müssen wir die obigen Punkte für den neuen Kandidaten überprüfen.

Die Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung (Komposition von Abbildungen in diesem Fall) prüft man analog. Ich würde für beliebige Gruppen vllt Punkt 1 und 2 abwechselnd prüfen, bis beide zugleich erfüllt sind. In deinem Fall geht es auch einfacher, aber ich weiß nicht, wie viel Theorie ich voraussetzen darf.

Kommentar von PeterZwegat88 ,

Danke für deine Antwort, aber diese Schreibweisen sind mir komplett unbekannt und ich finde sowas auch nicht bei uns im Vorlesungsskript. Meinst du du könntest das noch ein wenig vereinfachen oder war das schon das einfachste was geht?

Kommentar von Melvissimo ,

In deinem Skript ist doch sicher definiert, was eine "Untergruppe" ist: In diesem Fall eine nichtleere Teilmenge U der S4, sodass mit je zwei Abbildungen f und g in U auch deren Verknüpfung f ° g in U liegt und mit jeder Abbildung f in U auch die Umkehrabbildung f^(-1) in U liegt.

Ok, du hast jetzt eine Abbildung vorgegeben, die in U liegen soll, nämlich deine Permutation (der ich den Namen a gegeben habe). 

Die Frage ist jetzt: Welche Elemente muss U mindestens haben, damit U eine Untergruppe ist und a enthält? 

U enthält mindestens a, also könnten wir mal U = {a} vermuten. Gelten dann die Eigenschaften, die ich im ersten Absatz beschrieben habe?

Da a in U liegt, muss auch die Umkehrabbildung in U liegen. Berechne also die Umkehrabbildung von a und prüfe, ob sie in U liegt. Falls nicht, ist U = {a} keine Untergruppe und wir brauchen eine neue Vermutung: U = {a, a^(-1)}.

Jetzt gibt es zu jeder Abbildung in U auch eine Umkehrabbildung [das nennt man "abgeschlossen unter Inversion"], aber liegt auch mit je zwei Abbildungen deren Verknüpfung in U? Z.B. a ° a? 

Berechne all diese Verknüpfungen zweier Abbildungen und prüfe, ob sie in der Menge liegen. Wenn nicht, füge sie selbst hinzu.

Kommentar von PeterZwegat88 ,

Ok das hab ich jetzt schon größtenteils verstanden :D

Die letzten zwei Absätze bereiten mir aber noch Kopfschmerzen. Ich versteh nicht ganz was ich jetzt alles durchrechnen muss.

Du musst mir meine Dummheit verzeihen aber ich war bisher in jeder LA-Vorlesung und ich kann schwören, dass unser Prof das Thema nur kurz angesprochen hat aber absolut nicht in diesem Detail.

Kommentar von eddiefox ,

Hallo,

vielleicht ist dir die Schreibweise g=(1234) 
nicht geläufig. Das bedeutet folgendes:

1 -> 2 (die 1 wird auf die 2 abgebildet)
2 -> 3 (die 2 auf die 3)
3 -> 4 (die 3 auf die 4)
4 -> 1 (die 4 auf die 1)

g² bedeutet g o g, die zweifache Hintereinander-
ausführung von g.

Das sieht mit dem Pfeildiagramm so aus:

1 -> 2 -> 3
2 -> 3 -> 4
3 -> 4 -> 1
4 -> 1 -> 2

man folgt also den Pfeilen des ersten Diagramms
zweimal. g² kann man dann so schreiben:
g²=(13)(24). Mit Pfeilen sieht das so aus:

(13) bedeutet (24) bedeutet

1 -> 3 1 -> 1
2 -> 2 2 -> 4
3 -> 1 3 -> 3
4 -> 4 4 -> 2

und (13)(24) ist die Hintereinanderausführung
der beiden Permutationen (13) und (24).
Man kann schreiben: g²=(13)(24)

Nun g³ :

1 -> 2 -> 3 -> 4 also g³=(1432),
2 -> 3 -> 4 -> 1
3 -> 4 -> 1 -> 2 im Diagramm g wurden den
4 -> 1 -> 2 -> 3 Pfeilen 3mal gefolgt.

g⁴ :

1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 1, genauso findet man
2 -> 3 ... -> 2
3 -> 4 ... -> 3
4 -> 1 ... -> 4

g⁴ ist also die Identität, sie permutiert nicht
bzw. identisch.

Gruss
Kommentar von PeterZwegat88 ,

Ja eindeutig hat mir das gefehlt :D

Ich verstehe zwar noch nicht ganz die Diagramme aber das schaff ich schon noch. Vielen Dank auf jeden Fall für die Hilfe. Sollte ich rausfinden, wie und wann das geht, gebe ich dir auch Hilfreichste Antwort.

Danke^^

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