Wie berechnet man die Umlaufzeit eines Objekts anhand von wenigen Angaben?
Wie berechne ich die Umlaufzeit eines Objekts, welches sich auf der Kreisbahn um den Mond befindet, wenn ich nur die Masse des Mondes und den mittleren Durchmesser gegeben habe. Gibt es hierfür eine passende Formel?
3 Antworten
Hallo FinniSunshine
Für die Rechnung werden folgende Größen benützt:
G Gravitationskonstante (G = 6,674*10^(-11)m³/kgs²);
mM Masse des Mondes; mS Masse des Satelliten;
r Abstand zwischen Mondmittelpunkt und Satellit (r muss größer als der halbe Monddurchmesser sein!);
w (omega) Winkelgeschwindigkeit des umlaufenden Satelliten,
T Umlaufzeit des Satelliten.
FG Anziehungskraft des Mondes auf den Satelliten;
Fr Radialkraft (Zentrifugalkraft) auf den Satelliten aufgrund seines Umlaufs.
Beim umlaufenden Satelliten halten sich die Kräfte FG und Fr im Gleichgewicht:
FG = G*mS*mM/r² = Fr = mS*r*w² = mS*4pi²*r/T²;
G*mM/r² = 4pi²*r/T²;
T² = 4pi²*r/(G*mM/r²);
T² = 4pi²*r³/G*mM;
T = 2pi*Wurzel(r³/G*mM)
Für die Berechnung der Satellitenumlaufzeit T benötigt man also den Abstand r des Satelliten vom Mondmittelpunkt, die Masse mM des Mondes und die Gravitationskonstante G. Die Satellitenmasse mS geht in die Rechnung nicht ein.
Es grüßt HEWKLDOe.
Man müsste natürlich noch wissen, in welcher Höhe über der Mondoberfläche der Satellit seine Runden drehen soll. Es kommt also nicht auf den mittleren Durchmesser des Mondes an, sondern auf den mittleren Durchmesser (besser: die große Halbachse) der Satellitenumlaufbahn.
Die für diesen Fall notwendigen Formeln sind natürlich die Bewegungsgesetze von Newton und allenfalls das 3. Gesetz von Kepler.
Die fixfertige Formel findet man z.B. da:
Die Formel für einen antriebslosen und stabilen Umlauf eines Satelliten um einen Himmelskörper lautet:
v = √G * M / (R + h)
mit
R = Radius des Himmelskörpers
h = Höher der Flugbahn über der Oberfläche.
G = Gravitationskonstant
M = Masse des Himmelskörpers
R + h = r = Radius der Umlaufbahn = dm/2
dm ist in der Aufgabe gegeben.
M = Masse des Mondes musst du nachschlagen
G ist bekannt.
Das reicht, um v auszurechnen.
Mit der Bahngeschwindigkeit v und dem Umfang der Bahn, kannst du die Umlaufzeit berechnen.
Der Umfang der Bahn ergibt sich aus der Kreisgeometrie, da dm gegeben ist.