Wie berechnet man das mit der Eigenwertzerlegung?

Answer 1

[mihisu]

Naja. Führe zunächst eine entsprechende Eigenwertzerlegung der Matrix

$\left(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)$

durch. D.h. du sollst eine invertierbare Matrix S und eine Diagonalmatrix D finden, sodass

$\left(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right) = S\cdot D\cdot S^{-1}$

ist. (Hinweis: In der Diagonalmatrix D stehen die Eigenwerte, und die Matrix S hat Eigenvektoren als Spalten.)

Wenn du das dann hast, so gilt:

$\left(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)^{n-1}=\left(S\cdot D\cdot S^{-1}\right)^{n-1}=S\cdot D^{n-1}\cdot S^{-1}$

Denn wenn man sich die Potenz anschaut, so kürzt sich jeweils (außer ganz vorne und ganz hinten) das S⁻¹ mit S zu einer Einheitsmatrix weg, sodass dazwischen nur noch die Diagonalmatrizen D übrig bleiben.

$\left(S\cdot D\cdot S^{-1}\right)$ $=S \cdot D \cdot \underbrace{S^{-1} \cdot S}_{E_2} \cdot D \cdot \underbrace{S^{-1} \cdot S}_{E_2} \cdot D \cdot S^{-1} \cdot \text{...} \cdot S \cdot D \cdot S^{-1}$ $=S\cdot D\cdot D\cdot D\cdot \text{...}\cdot D\cdot S^{-1}=S\cdot D^{n-1}\cdot S^{-1}$

Und die Potenz der Diagonalmatrix erhält man recht einfach, indem man einfach die Diagonaleinträge potenziert.

======Mögliche (Zwischen-)Ergebnisse======

Lösungsvorschlag als PDF: https://cdn.discordapp.com/attachments/882681362505695252/942041132165136434/1110.pdf

Answer 2

[Jangler13]

https://www.mathebibel.de/matrix-diagonalisieren

Hier werden die Schritte davon erklärt, du musst aber dafür wissen was Eigenwerte und Eigenvektoren sind und wie man die bestimmt (die Beiträge dazu sind dort bestimmt)