Mathematik/ Matrizen: Umformregeln bei Determinanten - ist es sinnvoll, hier welche anzuwenden?
Hallo liebe Community,
es geht um die folgende Aufgabe:
Kann mir jemand sagen, welche Determinanten Umformregeln ich hier sinnvoll anwenden kann?
Eigentlich dachte ich, die Umformregeln bei Determinanten ganz gut drauf zu haben, aber hier macht doch weder das Ausklammern noch das Addieren/ Subtrahieren einzelner Zeilen bzw. Spalten Sinn.
In der Zeit hat man doch schon ganz schnell über den Laplace'schen Entwicklungssatz und dann die Sarrus'sche Regel die Determinanten berechnet...
Springt Euch eine Regel ins Auge, deren Anwendbarkeit Sinn macht?
Besten Dank im voraus!
Grüße carbonpilot01
1 Antwort
Mir fällt da auch nichts zu ein, maximal zu der zweiten Matrix. Da könntest du vielleicht versuchen, die Nenner aus der Determinante zu ziehen, dann hast du halt vor der Matrix 'ne große Bruchpotenz stehen und in der Matrix selbst nur ganzzahlige Koeffizienten. Von der "neuen" Matrix" geht die Determinante dann ja mit dem Hauptdiagonalenprodukt in ZSF ganz leicht. Ob das jetzt besser ist...
Die Matrizen haben allesamt vollen Rang, also kann man durch Zeilenoperationen nicht irgendwie die Matrizen auf Zeilenstufenform mit 'ner Null auf der Hauptdiagonalen bringen. Dann wäre die Determinante praktischerweise 0, aber das ist nun mal nicht der Fall.
Sicherlich kann man auch irgendwie bei der ersten und dritten Matrix die angepriesenen Regeln benutzen, aber ob das wirklich schneller als das "normale" Ausrechnen ist, hast du korrekt angezweifelt.
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Wie ich es gemacht hätte:
Bei der ersten Matrix würde ich sie einfach auf ZSF bringen und das Produkt der Hauptdiagonalen bilden, die ZSF geht wegen den ganzzahligen Einträgen ja gut.
Bei der zweiten Matrix käme dann wohl Laplace zum Einsatz, dann wären ja nur die Determinanten zweier 3x3-Matrizen zu berechnen, was wiederum schnell nach der Regel von Sarrus geht, oder halt noch mal Laplace. Die Brüche sind etwas nervig und mit beiden Methoden wird man sie nicht los.
Bei der dritten Matrix dann wieder ZSF, gleiche Argumentation wie oben.
Zum Ausklammern: Nimm direkt das kgV der Nenner, hier also 30. Dann hast du
Det(N)=1/30⁴ * Det ( (15, -6, 140, 0), (0, -15, 20, -15), (15, 42, 45, -45), (15, 40,-15,0))
Die einzelnen 4-Tupel sind hierbei die Zeilen der "neuen" Matrix. Wie gesagt, wirklich schneller ist es nicht.
Laplace nehm ich eigentlich nur, wenn in der Matrix relativ viele Nullen in einer Zeile oder Spalte sind. Meistens geht bei 4x4-Matrizen die Laplace-Entwicklung ein wenig schneller als die ZSF, aber das hängt auch von den Einträgen ab.
Für höhere Matrixdimensionen (so ab 5 oder 6 aufwärts, würde ich grob sagen) hingegen kommen einfach a) zu viele und b) zu "große" Matrizen im Sinne der Dimension bei rum.
Wenn ich auf 'ne 8x8-Matrix Laplace draufklatsche, krieg ich im Worst Case halt die "Enddeterminante" als Summe von Determinanten von 8 Matrizen der Dimension 7 raus. Wenn ich dann auf jede dieser Matrizen noch einmal Laplace anwende, sind es wieder im Worst Case 56 6x6-Matrizen usw. Das wird einfach zu groß. Im schlimmsten Fall hat man am Ende ein paar Tausend 3x3-Matrizen. Na dann, viel Spaß.
Selbst Laplace bei 5x5 find ich schon grenzwertig. Bei 4x4 sind es maximal 3 3x3-Matrizen, das ist noch okay. Bei 5x5 können aber wiederum bis zu 12 3x3-Matrizen auftauchen.
Da bleib ich doch lieber bei der ZSF, die geht da sicherlich schneller; insbesondere, wenn die Einträge in der Matrix alles "schöne" Werte sind wie in Matrix 1 und 3 im Bild.
Bei großen Matrizen kann man auch oft die Kästchenregel benutzen. Die erspart einem richtig viel Arbeit, wenn die Matrix diese Gestalt hat.
Kleine Korrektur:
Bei 4x4 sind es maximal 4 3x3-Matrizen [...]
Bei 5x5 können aber wiederum bis zu 20 3x3-Matrizen auftauchen.
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Anmerkung:
Wenn du allgemein 'ne nxn-Matrix mit n>3 hast, können durch Laplace am Ende bis zu n!/3! 3x3-Matrizen auftauchen. Laplace hat also eine Laufzeit von O(n!), wenn dir das was sagt.
Dass das für wachsendes n unfassbar viele Matrizen werden, ist schnell ersichtlich, immerhin ist n! streng monoton wachsend.
Ich habe gerade eine neue Frage gepostet. https://www.gutefrage.net/frage/mathematikvektorrechnung-welche-koordinaten-hat-der-punkt-xx1-x2-wenn-der-winkel-zwischen-den-vektoren-qx-und-px-mit-q-1--4-und-p2--2-45-sein-soll
Ich grübel jetzt schon länger an der Aufgabe herum. Die klingt am Anfang sehr leicht, bei näherer Betrachtung scheint da aber schon ganz schön Bums dahinter zu sein.
Mich würde mal interessieren, was Du dazu sagst.
Besten Dank im voraus!
Hallo,
alles klar, vielen Dank.
Hast Du eine Faustregel, wann Du die ZSF benutzt und wann Du mit Laplace immer den Grad der Matrix um eins reduzierst und dann auf die 3×3 die Sarrus'sche Regel anwendest?
Funktionieren tut ja immer beides, aber in der Klausur ist das ja mit der Zeit immer so eine Sache...
Danke!