Wie berechne ich den Büschelpunkt dieser Geradenschar?
Ich bin in der 11. Klasse auf der FOS. Ich hab keinen blassen Schimmer von Mathe. Nun muss ich den Büschelpunkt für diese Geradenschar berechnen: ha(x) = ax + a + 2 mit a e R Wie gehe ich vor?
Danke schon im Voraus. LG
3 Antworten
Hallo,
der Büschelpunkt einer Geradenschaar ist gemeinsamer Punkt, durch den alle Geraden in einer gemeinsamen Ebene verlaufen.
Wir suchen also einen "Schnittpunkt" durch den alle Geraden Gₐ, a ∈ ℝ gehen.
Seien a, a' ∈ ℝ, mit a ≠ a'.
Berechnung der x-Koordinate des Büschelpunktes :
hₐ(x) = hₐ'(x) <=> ax +a + 2 = a'x + a' + 2 <=> ax - a'x = a' - a <=>
(a-a')x = a' - a <=> x = (a'-a) / (a-a') = - (a-a') / (a-a') = -1
Die x-Koordinate des Büschelpunktes ist also -1.
Berechnung der y-Koordinate :
hₐ(-1) = a(-1) + a + 2 = -a +a +2 = 2, und das gilt für jedes a ∈ ℝ.
Der Büschelpunkt B hat also die Koordinaten (-1;2).
Gruß
Du mußt nur 2 Geraden mit unterschiedlichem a (z.B. a = 1 und a = 3) gleichsetzen, d.h. den Schnittpunkt berechnen.
Als Kontrolle setzt Du für a einen anderen Wert ( z.B. 4) ein und schaust, ob diese Gerade auch durch diesen Schnittpunkt geht. Wenn JA, ist das der Büschelpunkt, wenn NEIN, dann gibt es keinen.
gleichsetzen mit 2 Parametern und nach x auflösen.
ax+a+2=bx+b+2
ax-bx = b-a
x(a-b) = b-a
x = -(a-b)/(a-b)
x = -1
jetzt einsetzen
-a+a+2 = 2
also
Büschelpunkt ist
(-1 ; 2)