Wie berechne ich bei dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit?
Also bei dieser Aufgabe:
Man hat eine Lostrommel, in der sind insgesamt 10000 Lose.
9500 sind Nieten und 500 Gewinne.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich mindestens ein Gewinnlose ziehe, wenn ich 100 Lose ziehe?
3 Antworten
Durchschnittlich liegen 9950 Lose im Topf ( bei den ersten 50 Zügen mehr, bei den zweiten entsprechend weniger ), da die Nieten ja nicht wieder aufgefüllt werden.
500:9950x100=5,025%
500:10000=0,05+500:9999=0,050005+500:9998=0,5001...+ 500:9900=0,050505
Wenn man alle 100 Brüche/Dezimalzahlen addiert, erhält man 0,5025. 1=100%, .0,5025=50,25%
Kontrolle: 5% Trefferwahrscheinlichkeit heißt 1/20, wenn man also die Kommastellen hinter der 5 vernachlässigt, heißt das, das ich alle 20 Lose einen Gewinn ziehe. Wenn ich das bei 100 Versuchen also fünfmal mache, ist die Wahrscheinlichkeit hoch, fünf Gewinnlose zu ziehen. Ich brauche aber nur eins. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit von über 50% richtig.
Hier wurde "versucht" die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei 100 gezogenen Losen ein Gewinnlos dabei ist, wobei jedes Los einzeln gezogen und sofort geöffnet wird (der letzte Bruch müsste zudem 500/9901 sein!). Das funktioniert so aber nicht; man kann nicht einfach alle einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren (mach das mal bei 200 Losen, dann ist nach dieser Rechnung die Wahrscheinlichkeit über 100%...).
Man könnte höchstens berechnen, wie die Wahrscheinlichkeit dafür ist 100 Nieten nacheinander zu ziehen, also p=9500/10000 mal 9499/9999 mal 9498/9998 mal ... mal 9401/9901 = 0,00577 = 0,58 %.
Was aber bei solchen Aufgaben gemeint ist: man zieht 100 Lose auf einmal und öffnet diese anschließend. Nur so können Wahrscheinlichkeiten der Form "mindestens 1 Treffer", "maximal 98 Nieten" usw. berechnet werden, da die Gewinnwahrscheinlichkeit für jedes Los gleich ist. Denn nur so kann man z. B. die Bernoulli-Kette anwenden: P(X=k)=(n über k) * p^k * (1-p)^(n-k).
Mit anderen Worten: von den "so vielen falschen Antworten" (Zitat Fragesteller) ist eine der falschen ausgezeichnet worden.
Es sind übrigens 2 richtige Antworten (von 4) gegeben worden; ich habe den Weg gezeigt und der "Dualzahlliebhaber" die Lösung präsentiert... (was ohne Lösungsweg auch nicht sonderlich hilft, aber da könte man ja nochmals nachfragen, wenn die eigene Lösung anders lautet)
Berechne die Gegenwahrscheinlichkeit "kein Gewinn bei 100 Losen". Das von 1 (=100%) abziehen, und Du hast die Wahrscheinlichkeit für "mindestens ein Gewinn bei 100 Losen".
500/9500 * 500/9499 * …. 500/9401 ist W von 100 mal nix zu gewinnen.
Mit Excel kann man das "ausrechnen": 1,18... * 10 hoch - 129. Die Gegenwahrscheinlichkeit ist entsprechend 1 - 1,18... * 10 hoch - 129, also fast (!) null. Stimmt das?
Erkenntnis ist iterativ. Die Reihe sollte lauten:
500/10000 + 500/9999 + …. + 500/9900 ist W von 100 mal nix zu gewinnen.
Excel liefert: 5,0499949500050...Prozent.für die Antwort auf die Frage.
Du hast die Wahrscheinlichkeiten addiert, nicht multipliziert.
Zudem müsste die Rechnung "100 Nieten bei 100mal nacheinander ziehen" lauten:
9500/10000 * 9499/9999 * 9498/9998 * ... * 9401/9901.
Und das ergibt laut Excel 0,0058.
Und das heißt nun, dass, nach all diesem Aufwand, die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 Gewinnlos" zu ziehen bei 1-0,0058=0,9942=99,42% liegt.
Beim Rechnen mit der Binomialverteilung kommt raus (n=100; p=0,05):
P(X=0)=(100 über 0) * 0,05^0 * 0,95^100=0,95^100=0,0059
=> min. 1 Gewinnlos: P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1-0,0059=0,9941=99,41%
Das zeigt (und das ist auch Sinn solcher Aufgaben), dass bei entsprechend großer "Probe" die Binomialverteilung angesetzt werden kann! Man überlege auch, wie man solche Aufgaben sonst in einer Klausur oder im Unterricht ohne "Hilfsmittel" wie Excel berechenen soll...
500/10000 sind gewinne. das ergiebt: 5/100 = 0,05%
Wenn du 100Lose mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 0,05% ziehst, liegt deine Gewinnwahrscheinlichkeit bei 1%
Die 0,05% insgesamt verstehe ich, klar. Aber wie kommt man auf 1%?
Falsch...
Prozent heißt "von Hundert" und 5 von hundert sind nicht 0,05, sondern 5...
Die Rechnung ginge 5/100*100 = 5...
5/100=0,05=5% ! Das heißt, bei nur einem Zug ist die Gewinnchance schon bei 5%.
Das ist sicherlich falsch. Die Wahrscheinlichkeit wird von Zug zu Zug höher. Die Wahrscheinlichkeit bei der ersten Losentnahme ist 500:10000, bei der zweiten 500:9999, bei der dritten 500:9998 usw. bis 500:9500. Da die Wahrscheinlichkeit, ein Gewinnerlos zu ziehen immer größer wird, sind die einzelnen Brüche zu addieren.
Natürlich muss es bei der letzten Ziehung 500:9900 heißen, sorry.
Ich habe selbst noch einmal darüber nachgedacht und rumgerechnet, da hier so viele falsche Antworten kamen. Meiner Meinung nach stimmt das Ergebnis 5,025%. Den Ansatz mit den Durchschnittslosen finde ich interessant, bin anders draufgekommen. 50,25% halte ich für Quatsch.