Frage von anonym13542, 30

Wer kann mir den Erwartungswert erklären?

Ich muss den Erwartungswert (Mathe) so schnell wie möglich kapieren. Könnt ihr mir es vielleicht anhand der Aufgabe im Bild erklären (Aufgabe 3 (+Figur 2))

(Bitte keine Formeln usw... Die kann ich selber.)
;D

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Hallo,

Du überlegst erst einmal, welche Ergebnisse mit welcher Wahrscheinlichkeit überhaupt möglich sind.

Beim ersten Drehen kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 Blau, mit einer Wahrscheinlichkeit von je 1/4 Rot oder Grün.

Beim zweiten Drehen ist es genauso.

Zweimal Rot erscheint also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4*1/4=1/16.

In einem von 16 Spielen kannst Du also in Aufgabe a) mit einem Gewinn rechnen, in 15 von 16 Spielen mit einem Verlust.

Wenn Du also 16mal spielst, hast Du 8 Euro an Einsätzen verbraten, aber nur einen als Gewinn eingestricehn, macht unterm Strich 7 Euro für den Schornstein. Deine Gewinnerwartung pro Spiel liegt also bei -7/16 Euro, wobei das Minus natürlich einen Verlust für Dich bedeutet. Umgerechnet zahlt Du pro Spiel rund 44 Cent drauf.

-7/16 Euro ist der Erwartungswert pro Spiel. Das muß nicht der tatsächliche Verlust sein. Du kannst auch dreimal hintereinander gewinnen oder 200mal hintereinander verlieren. Die Erfahrung lehrt allerdings, daß Du Dich, je mehr Spiele Du machst, immer mehr diesem Erwartungswert annäherst.

Wenn Du 200 Spiele machst, wirst Du am Ende wahrscheinlich um 200*0,44 Euro, also um 88 Euro ärmer sein. Vielleicht sind es auch nur 82 oder gar 95 Euro, aber in diesem Rahmen werden sich Deine Verluste bewegen, das läßt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit voraussagen.

Bei Aufgabe b sieht die Sache etwas günstiger aus.

Hier gewinnst Du, wenn Du beim ersten Mal Grün drehst (was beim zweiten Drehen herauskommt, ist uninteressant). Hier ist also eine Wahrscheinlichkeit von 1/4.

Hinzu kommt ein Gewinn für den Fall, daß beim zweiten Mal Rot erscheint (hier spielt das erste Drehen keine Rolle). Auch diese Wahrscheinlichkeit ist 1/4.

Da Du in beiden Fällen gewinnst, sich die Ergebnisse aber gegenseitig ausschließen (ich denke mal, die Kombination Grün-Rot wird als einfacher Gewinn gerechnet), kannst Du beide Wahrscheinlichkeiten addieren und kommst so auf eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/4+1/4=1/2

Wenn Du jetzt 16 Spiele machst, kannst Du davon ausgehen, daß Du 8, also die Hälfte davon gewinnst.

Du zahlst also 8 Euro und streichst auch 8 Euro an Gewinnen ein.

In diesem Fall nennt man das Spiel fair - Gewinn und Verlust halten sich die Waage, weder der Spieler noch der Betreiber gewinnt oder verliert im Endeffekt.

Oder in der Mathematik bedeutet übrigens, daß das eine oder das andere oder beides zusammen eintreffen kann, es ist kein Entweder - Oder.

Noch einmal: Der Erwartungswert muß sich nicht mit den tatsächlichen (empirischen) Ergebnissen decken. Es ist nur sehr wahrscheinlich, daß sich die tatsächlichen erzielten Ergebnisse bei einer hohen Anzahl von Wiederholungen eines Experimentes dem rechnerisch ermittelten Erwartungswert angleichen.

Wenn Du einen Würfel nimmst und einmal würfelst, kann ich nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 voraussagen, daß Du eine 4 geworfen hast.

Würfelst Du aber 6000mal hintereinander und notierst die Ergebnisse, kann ich Dir mit einer hohen Genauigkeit die Zahl der Vieren, die Du geworfen hast, ohne Kenntnis der Notizen nennen: Es werden mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 69 % zwischen 971 und 1029 Vieren sein, mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99,7 % sogar zwischen 913 und 1087 Vieren.

Auf die Grenzen bin ich über die sogenannte Standardabweichung gekommen, die Wurzel aus Erwartungswert mal Gegenwahrscheinlichkeit, hier also die Wurzel aus (1000*5/6).

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 7

einfach nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in einer Tabelle aufstellen und dann in die Formel für den Erwartungswert E(X) einsetzen

Wahrscheinlichkeit für P(rot=90°/360°=0,25

Wahrsch. rot/rot P(rr)=0,25^2=0,0625

P(grün)=90°/360°= 0,25

wahrsch. grün/rot P(gr)=0,25^2=0,0625

in die Tabelle eingetragen  xi      1Euro    1 Euro     - 0,5 Euro

                                   P(X=xi)       0,0625  0,0625      P(ges)

für - 0,5 Euro diese Wahrscheinlichkeit musst du selber ermitteln.Hier ist die Wahrscheinlichkeit einzusetzen,dass a) und b) nicht eintreten

Beispiel für Grau/grau P(gg)=(180°7360°)^2=0,707..

Nun musst du alle Pfadwahrscheinlichkeiten ermitteln,dass a) und b) nicht auftreten und diese zu einer Gesamtwahrscheinlichkeit zusammenfassen.

P(ges)= P(1)*P(2) *P(3) .... P(n) nach der "und-Regel" (Produktformel)

Kommentar von fjf100 ,

Produktformel ist falsch ! Summenformel amwenden !

P(ges)= P1 +P2 +P3...

P1,P2.. sind die Pfadwahrscheinlichkeiten,dass a) und b) nicht eintreten

Antwort
von MarcTheKingIII, 13

das hier hilft

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