Welchen Brechungsindex haben Gravitationslinsen?
2 Antworten
Hallo SRT2007,
das kann man so pauschal nicht sagen, denn der Faktor der "Zeitdilatation", das Verhältnis zwischen der U- Koordinatenzeit Δt bzw. dt (es ist sinnvoll, immer kurze Zeitspannen zu betrachten), also der von einer entfernten Bezugsuhr U aus ermittelten Dauer eines (kurzen) Vorgangs und der Eigenzeit dτ, der durch eine lokale Uhr Ώ direkt gemessenen Dauer desselben Vorgangs, hängt vom Gravitationspotential ab.
Wenn die Gravitationslinse kugelsymmetrisch ist und die Masse M hat, lässt sich die ganze Sache ohne großen Fehler durch die SCHWARZSCHILD- Metrik
(1) dτ² = dt²(1−2M⁄r) − dr²/(1−2M⁄r) − r²dΩ²
beschreiben, wobei die Abkürzung
(2) dΩ² = dθ² + sin²(θ)dφ²
kleine Verschiebungen entlang einer r-Kugelschale beschreibt. Die Einheiten sind geometrisiert, d.h., es wird ein Natürliches Einheitensystem verwendet, in dem eine Masse durch eine Länge (den Gravitationsradius GM⁄c²) und eine Länge wiederum durch eine Zeitspanne (die Licht bräuchte, sie zu überbrücken) ausgedrückt wird.*)
Dabei hat jede r- Kugelschale ihren eigenen "Brechungsindex", der durch den SCHWARZSCHILD- Faktor
(3) q = √{1 − 2M⁄r}
bestimmt wird. Für 2M << r kann man q übrigens gut durch (1 − M⁄r ) nähern, wobei M⁄r nichts anderes ist als das NEWTONsche Gravitationspotential.
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*) Ein Beispiel: Die Sonne hat eine Masse von 2×10³⁰ kg. Mit G ≈ ⅔×10⁻¹⁰ m³/(kg∙s²) und c² ≈ 9×10¹⁶ m²⁄s² ergibt sich GM⁄c² ≈ (40⁄27)×10³ m ≈ 1,5 km. Um das noch in eine Zeit zu übetsetzen, dividiert man es noch mal durch c und erhält ca. 5 μs.
der brechungsindex ist eine materialeigenschaft und gibt dir das verhältnis zwischen lichtgeschwindigkeit im vakuum und im medium.
"gravitationslinsen" bestehen nicht aus einem medium welches vom licht durchquert wird.
Man kann allerdings einem bestimmten Gravitationspotential einen Brechungsindex zuschreiben, da ein Beobachter mit einer Uhr U auf dem Gravitationspotential 0 nach seinen Beobachtungen zu dem Schluss käme, das Licht bewege sich dort langsamer als bei ihm selbst.
Aus der SCHWARZSCHILD- Metrik geht hervor, dass das Verhältnis zwischen U- Koordinatenzeit und der durch eine sich bei r mit v (von U aus beurteilt) bewegende Uhr Ώ direkt gemessene Eigenzeit durch
dt⁄dτ = 1/√{1 − v² − 2M⁄r}
(Einheiten geometrisiert) gegeben ist. Auf dem ISCO zum Beispiel ist das
dt/dτ = 1/√{1 − v² − ⅓},
sodass der Faktor nicht erst bei v=1, sondern schon bei v²=⅔ divergiert, d.h. aus der Sicht von U bewegt sich das Licht dort nur mit √⅔.
Entsteht die Rotverschiebung dann zwischen Galaxien oder wenn das Licht der Raumkrümmung folgt?