Frage von Feuermond16, 62

Welche Matrix ergibt mit sich selbst multipliziert eine Einheitsmatrix?

Welche Matrix (Art der Linearen Abbildung) ergibt mit sich selbst multipliziert eine Einheitsmatrix? Und warum ist das so?

Oder ergeben nur Einheitsmatrizen mit sich selbst multipliziert wieder eine Einheitsmatrix?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 50

Wie (-1)*(-1) = +1 ist, so ist das Quadrat jeder Diagonalmatrix, die nur +1 und -1 auf der Diagonalen hat, die Einheitsmatrix.

Aber es gibt auch andere Matrizen, wie

0  1 

1  0

und hiermit verwandte Matrizen

Antwort
von RadioAktiv, 46

Das sind sogenannte selbstinverse Matrizen. Die Einheitsmatrix ist zB zu sich selbst invers.

Es gibt aber auch noch viele andere selbstinverse Matrizen im |R^nxn.

Ich weiß gerade nicht, ob man das irgendwie  schnell überprüfen kann-oder alle Selbstinversen angeben kann......

...als hinreichendes Kriterium muss die Determinante 1 oder -1 sein.

Jetzt bin ich mir nicht mehr sicher:

Ich glaube, alle symmetrischen Matrizen sind selbstinvers-außer der 0-Matrix.

Das Minimalpolynom ist x²+1, x+1 oder x-1

und es gilt im |R²

A=E-vw^t   mit dem Skalarprodukt von v,w ist ungleich 0

und v^tw=w^tv.

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