Weiß jemand von welcher Formel das entstammt?

Dort, wo das Summenzeichen aufgelöst wird (1/1-2/3)

Answer 1

[AlisaL]

Das ist die sogenannte geometrische Summenformel.

Sagen wir, du willst

1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵

ausrechnen. Dann kannst du das mit folgendem Trick machen:

(1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵)•(q-1) =

q + q² + q³ + q⁴ + q⁵ + q⁶

-1 - q - q² - q³ - q⁴ - q⁵ =

q⁶ - 1.

Also ist

1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵ = (q⁶ -1)/(q-1).

Das kann man natürlich genauso mit beliebig großen Summen machen, und kommt so auf die geometrische Summenformel

1 + q + q² + ... + q^n = (q^(n+1) - 1)/(q - 1).

Eine unendliche Summe ist definiert als Grenzwert der endlichen Zwischensummen.

Summe von n=0 bis unendlich von q^n

(in deinem Fall ist q = 2/3) ist somit der Grenzwert von

Summe von n=0 bis m von q^n

für m gegen unendlich. Diese endliche Summe haben wir aber gerade mit der geometrischen Summenformel ausgerechnet: die ist gleich (q^(m+1) - 1)/(q - 1). Für m gegen unendlich geht q^(m+1) für q < 1 gegen 0 oder für q > 1 gegen unendlich. Für q > 1 gehen also die Zwischensummen gegen unendlich und für q < 1 (wie zB für q = 2/3) geht sie gegen

(0 - 1)/(q - 1) = 1/(1-q),

also in deinem Fall gegen 1/(1 - 2/3) = 1/(1/3) = 3.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathemaster

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

wenn Du die Summe (nenne sie sn) ausschreibst, sieht die so aus:

sn=(2/3)^0+(2/3)^1+(2/3)^2+...+(2/3)^n.

Multiplizierst Du diese Summe mit (2/3), bekommst Du eine Summe, die der ersten sehr ähnlich sieht:

(2/3)sn=(2/3)^1+(2/3)^2+...+(2/3)^n+(2/3)^(n+1).

Ziehst Du diese zweite Summe von der ersten ab, sieht das so aus:

sn-(2/3)sn=(1/3)sn=(2/3)^0-(2(3)^(n+1), alle anderen Zwischenglieder heben sich auf.

Wenn n gegen unendlich geht, geht (2/3)^(n+1) gegen 0, so daß derGrenzwert von (1/3)sn=1

Wenn (1/3)sn=1, dann sn=3.

Du kannst also für die Summe, die von 0 bis unendlich läuft, den Grenzwert 3 einsetzen.

(2^4/3^2)*3=(16/9)*3=16/3.

Herzliche Grüße,

Willy