Wie finde ich das Summenzeichen zu einer Taylorreihe?
Ich muss für eine Prüfung nicht nur das Taylorpolynom finden sondern es mit einem Summenzeichen angeben. Ich verstehe die Basics des Summenzeichen doch sobald eine unendliche Funktion nur ansatzweise anfängt konpliziert zu werden verliere ich den Faden. Wie z.B kommt man vom Taylorpolynom von f(x)=e^x - e^-x --》 (Summenzeichen)(2x^(2k+1))/(2k+1)!
3 Antworten
Hallo,
hast Du das Polynom denn mal mit x0=0 entwickelt?
Allgemein geht es ja so:
f(x0)^(k')*(x-x0)^k/k!, wobei das ^k' die k. Ableitung bedeuten soll.
Die Ableitungen von e^x bleiben bekanntlich immer e^x.
Wenn x=0, hatjede dieser Ableitungen den Wert 1.
Wenn x0=0, ist x-0 immer x.
die Taylorreihe zu x0=0 für e^x wäre also 1*x^0/0!+1*x^1/1!+1*x^2/2!+1*x^3/3! usw., also 1+x+x²/2+x³/6 usw.
Nun wird davon jeweils das entsprechende Glied aus der Reihe von e^(-x) abgezogen.
Die Ableitungen dafür lauten, angefangen bei Ableitung 0, also bei der Funktion selbst:
e^(-x), -e^(-x), e^(-x), -e^(-x) usw.
Das bedeutet: bei geraden Ableitungen einschließlich der Funktion selbst,
wird e^(-x0) abgezogen. Bei ungeraden Ableitungen hebt das Minus der Ableitung das Rechenzeichen auf und es wird addiert.
Die ersten Glieder lauten hier also -1; x,
-x²/2, x³/6 usw., da e^(-x) für x=0 immer 1 ist.
Die komplette Reihe lautet also 1-1+x+x+x²/2-x²/2+x³/6+x³/6 usw.
Die Glieder it den geraden Exponenten verschwinden, die mit den ungeraden werden verdoppelt.
Diese Verdoppelung erklärt die 2, die also Faktor vor dem Ausdruck in der Summe steht. Die Tatsache, daß nur Glieder mit ungeraden Exponenten übrigbleiben, erklärt das 2k-1. Wenn Du mit k=0 anfängst, ergibt das die ungeraden Zahlen 1,3,5,7 usw.
Im Grunde ist das schon alles. Du hast die Summe von k=0 bis n
über (2*x^(2k-1)/(2k-1)!)
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
danke, dass Du dir die Zeit genommen hast, mir das zu erklären. Ich habe angefangen einen überblick zu bekommen.
Grüsse, Edonis
Also das Summenzeichen ist immer das gleiche, nämlich ein großes Sigma. Da ändert sich wenig dran. Was du herausfinden musst sind die Summanden.
Jetzt zu deiner Aufgabe:
Hier ist f einfach 2*sinh(x), sprich die Taylorreihe ist leicht in der Literatur zu finden, aber das nur nebenbei.
Zuerst muss man fest legen, von wo aus man die Taylorreihe entwickeln möchte, üblich ist x_0=0, hier wohl auch.
Du betrachtest jetzt den Funktionswert bei 0 und die Ableitungen bei 0 und hoffst ein Muster zu finden:
f(0) = 0
f'(0) = 2
f''(0) = f(0) = 0
Wenn du die Ableitungen ausrechnest merkst du, dass du nach zwei mal ableiten wieder die Ausgangsfunktion hast, also ist klar, was bei allen weiteren Ableitungen passiert: gerade ergeben 0, ungerade 2.
Jetzt setzt du das in die Formel für die Taylorreihe ein und bist fertig.
(Man kann statt jeden zweiten Summanden mit 0 zu multiplizieren auch einfach von vornherein nur ungerade k betrachten.)
Da gibt es kein Schema F.
Nachdem du die ersten paar Ableitungen deiner Funktion und damit die ersten paar Koeffizienten a0, a1, a2, ... errechnet hast, kannst du mit etwas Glück das Bildungsgesetz für ein allgemeines a_n erraten.
Dann müsstest du allerdings noch, z.B. durch vollständige Induktion, beweisen, dass du richtig geraten hast.