Was passierte wenn die reelle Wurzel gerade und a >= 0 ist?

Bei allgemeiner, 1), ist die nichtnegative Lösung auch eine eindeutige Lösung? Sind es da immer 2 Lösungen? Was ist genau der Unterschied, verstehe das nicht ganz

Answer 1

[nobytree2]

Die Wurzel wird als oder wie eine Funktion verstanden. Eine Funktion ist eine Relation, welche auf einer Seite, nämlich auf der Seite des Funktionsergebnisses, nur einen Wert zulässt. Demnach kann die Wurzel für denselben Parameter nicht zwei verschiedene Ergebnisse liefern.

Wenn wir die 1ste, die 3te, die 5te, als eine ungerade Wurzel haben, dann ergibt sich das Wurzelergebnis eindeutig aus der Umkehrfunktion, also

$\forall n\in\mathbb{N}:\ f\left(y\right)\ =y^{2n-1}=x\ \to f\left(y\right)\ ist\ injektiv$ und entsprechend ist

$\forall n\in\mathbb{N}.;\ f\left(x\right)=^{2n-1}\sqrt{x}\ =y\ \to f\left(x\right)\ ist\ injektiv$

Haben wir jedoch

$f\left(y\right)=y^{2n}\ mit\ n\in\mathbb{N}\ \to f\left(y\right)=y^{2n}=1^{2n}\cdot y^{2n}=\left(1^2\right)^n\cdot y^{2n}=\left(\left(-1\right)^2\right)^n\cdot y^{2n}$ $=\left(-1\right)^{2n}y^{2n}=\left(-y\right)^{2n}=f\left(-y\right)$

Es gilt also: f(y) = f(-y). Die Funktion ist nicht injektiv, für zwei verschieden Parameter kann man denselben Funktionswert erhalten, z.b 2² = 4 = (-2)²

Wenn man dann die Umkehrfunktion, die Wurzel daraus herleitet, könnte man neben

$\sqrt{4}=2\ noch\ auf\ die\ Idee\ kommen:\ \sqrt{4}\ wäre\ auch\ gleich\ -2$

Das ist aber nicht möglich, da eine Wurzel nur ein Ergebnis haben darf, nicht zwei. Deswegen hat man sich bei geraden Wurzeln für die positive Zahl entschieden.

Da aber auch (-2)² = 4, müssen wir beachten, dass wir bei

$x^{2n}\ =\ y\ \ mit\ n\in N$ mit der Wurzel nicht alle Lösungen erhalten. Die weiteren Lösungen müssen wir - neben dem eigentlich Wurzelziehen - noch mit einem weiteren Schritt, nämlich mit

$x=-^{2n}\sqrt{y}\ \left(neben:\ x=^{2n}\sqrt{y}\right)\ herausfinden.$

Das hört sich komisch an! Warum nicht gleich

$^{2n}\sqrt{y}gleich\left\{^{2n}\sqrt{y};-^{2n}\sqrt{y}\right\}?$

Man sieht es: Das Ergebnis einer Wurzel wäre dann eine Menge! Und deswegen verlagert man klüger den Schritt vom Wurzelergebnis in der Lösungsfindung einen Schritt weiter nach hinten, nämlich das neben dem Wurzelziehen für die weiteren Lösungen noch ein weiterer Schritt, nämlich Wurzelziehen und Ergebnis mal (-1) erforderlich ist.

Nachtrag für eine Vertiefung, sofern interessant: Natürlich könnte man auch eine Funktion kreieren, welche als Ergebnis eine Menge hat. Dann darf es aber nur eine mögliche Menge als Ergebnis sein, nicht zwei mögliche Mengen. Es löst sich auch dann nicht auf, wenn es das Ergebnis einer Funktion eine Menge an Mengen ist, denn das Ergebnis muss eindeutig bleiben.