Quadratische Lösung/Parameter?
Wir kann man bei einer quadratischen Gleichung die Parameter so Bestimmen, das eine reelle Lösung, keine reelle Lösung oder zwei reelle Lösungen rauskommen, wie geht die Vorgehensweise?
Ich habe folgendes Beispiel:
(3x+2)^2=-5+b
Welche Werte muss b haben sodass die Gleichung keine reelle Lösung hat?
2 Antworten
Zuerst bringen wir die Gleichung in die Noemalform:
(3x+2)^2=-5+b
9x^2 + 12x + 4 = -5+b
9x^2 + 12x + 4 + 5 - b = 0
9x^2 + 12x + 9 - b = 0
x^2 + 4/3 x + (1 - 1/9 b) = 0
Und nun wenden wir die pq-Formel an:
p = 4/3
q = (1 - 1/9 b)
x = -p/2 ± √((p/2)^2 - q)
x = - 4/6 ± √((4/6)^2 - (1 - 1/9 b))
Nun ist es so:
ist die Wurzel = 0, gibt es genau eine Lösung
ist die Wurzel > 0, gibt es zwei Lösungen
ist die Wurzel < 0, gibt es keine Lösung, denn aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen
Also setzen wir an:
(4/6)^2 - (1 - 1/9 b) = 0
16/36 - 1 + 1/9 b = 0
1/9 b = 1 - 16/36
b = 9 - (9*16)/36 = 9 - 4 = 5
Also gibt es für b = 5 eine Lösung.
Nun müssen wir gucken, ob die Wurzel für b > 5 plus oder minus wird.
Da setzen wir 9 ein, weil es sich leicht rechnen lässt:
(4/6)^2 - (1 - 1/9 * 9) = 16/36 - 1 + 1 = 16/36
Also gibt es für b > 5 zwei Lösungen und für b < 5 keine Lösung.
wurzel ziehen auf beiden Seiten;
jetzt betrachtest du
5+b < 0
b < -5
wenn b kleiner minus 5 ist, gibt es keine Lösung.