Was ist eine Zufallsvariabel und was ist der Erwartungswert?

Könnte mir das bitte jemand simpel erklären

2 Antworten

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

01.05.2022, 20:46

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, wo die Definitionsmenge die Ergebnismenge des Zufallsexperiments und die Wertemenge die reellen Zahlen sind.

Mich hat die Schreibweise P(X = k) sehr verwirrt, darum versuche ich es hier zu erklären. "X = k" ist eine Schreibweise für das Ereignis, das aus den Elementen besteht, die durch die Zufallsvariable X auf k abgebildet werden.

Beispiel: Zweimaliges Würfeln und die Augensumme soll 7 sein. Wenn ω₁ das Ergebnis des ersten und ω₂ das Ergebnis des zweiten Wurfes ist, dann ist die Summe die Zufallsvariable X((ω₁, ω₂)) = ω₁ + ω₂.
"X = 7" ist dann das Ereignis {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}, dass die Augensumme 7 ist. In diesem Ereignis sind also alle Elemente, die durch die Zufallsvariable X auf 7 abgebildet werden. P(X = 7) ist dann die Wahrscheinlichkeit von diesem Ereignis. P(X = k) kann man ausführlicher als P({ω ∈ Ω | X(ω) = k}) schreiben. Das "(ω)" wird nur gerne weggelassen und man schreibt nur X anstatt X(ω). Es ist aber trotzdem X(ω) gemeint und X ist eine Funktion und keine Variable, obwohl man "Zufallsvariable" sagt. Bei "X ≤ k", usw. handelt es sich auch um Ereignisse. Z.B. "X ≤ k" ist das Ereignis {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ k}.

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X ist sozusagen der Schwerpunkt auf der Zahlengerade. Im diskreten Fall hat jede Zahl k das Gewicht P(X = k). Den Schwerpunkt erhält man, indem man die möglichen Werte der Zufallsvariable mit deren Wahrscheinlichkeiten multipliziert und aufsummiert. Bei der Augensumme wäre das E(X) = 1 ⋅ P(X = 1) + 2 ⋅ P(X = 2) + ... + 12 ⋅ P(X = 12).

Ansonsten hast Du ja schon eine Antwort mit Seiten bekommen, wo es gut und genau erklärt wird. Ich wollte noch einmal verdeutlichen, dass es sich bei der Zufallsvariable um eine Funktion handelt und nicht um eine Variable.