Was ist eine Subtangente?

1 Antwort

berndao4
19.01.2021, 19:44

Subtangenteist einfach der Teil der Tangente, der von dem betreffenden Punkt bis zur nächsten Tangentennullstelle geht.
https://de.wikipedia.org/wiki/Subtangente#/media/Datei:Subtangente.svg

Sei (a,f(a)) ein Punkt.
sei (b,0) der Schnittpunkt der Tangente mit der x -Achse.

vorgegeben hast du ja a, f(a) und f'(a).

Die Länge der Subtangente ist dann

L=Wurzel((a-b)^2+f(a)^2)

Die Tangente t(x) hat ja bekanntlich die Form
t(x)=f'(a)*x+n
wegen t(a)=f(a) gilt
f(a)=f'(a)*a+n

Also n=f(a)-f'(a)*a

Dmait hat die Tangete also die Gleichung

t(x)=f'(a)*x+(f(a)-f'(a)*a)

Damit lässt sich das b bestimmen indem wir t(b)=0 einsetzen:

0=f'(a)*b+(f(a)-f'(a)*a)

f'(a)*b= f'(a)*a-f(a)

b=a-f(a)/f'(a)

Damit ist also
(a-f(a)/f'(a) , 0)
der Schnittpunkt von tangente und x Achse.

Damit folgt für L:

L=Wurzel((a- (a-f(a)/f'(a)) )^2+f(a)^2)
L=Wurzel( (f(a)/f'(a))^2+f(a)^2)
=f(a)*Wurzel(1/f'(a)^2 + 1)

Dies soll gleich der koordinatensumme sein, also a+f(a)

Ersetzen wir nun doch a durch x, f(a) durch y und f'(a) durch y', so komme ich auf

y*Wurzel(1/y'^2 -1) =x+y

Vermutlich habe ich aber den begriff der Subtangente falsch verstanden, sodass nur die x-differenz zwischen punkt und tangentenschnittpunkt mit x achse gmeint ist.

Also einfach |a-b|=f(a)/f'(a)=y/y'

das gleichgesetzt mit koordinatensumme ergibt die gewünschten

y/y'=x+y :-)