Frage von Australia23, 25

Autogene DGL 1. Ordnung - Phasenlinie?

Hallo zusammen, ich bin mir gerade Mathe-Theorie am durchlesen und verstehe das nicht ganz...

Die autogene (oder stationäre) Differentialgleichung y'=f(y) kann man ja einfach graphisch analysieren indem man die Gleichgewichtspunkte (auch singuläre Punkte) bestimmt indem man die Werte berechnet, für welche gilt f(y)=0.

Da y'=f(y) dann gleich 0 ist, weiss man, dass die Steigung an diesem Punkt 0 ist, nun kann man mit f(y)> oder < 0 noch bestimmen, wo die Steigung positiv bzw. negativ ist und weiss somit wo die Lösungsfunktion der DGL steigt bzw. fällt.

Nun soll wir die Resultate mit einer Phasenlinie graphisch darstellen. Dabei sollen wir die y-Achse aufzeichnen, dann die Gleichgewichtspunkte darauf einzeichnen und schliesslich in den Intervallen zwischen den Gleichgewichtspunkten durch Pfeile zeigen, ob die Steigung positiv oder negativ ist.

Was ich nicht verstehe: Wieso soll das die y-Achse sein? Man berechnet doch die x-Werte der Gleichgewichtspunkte, also müsste man das ganze auf einer x-Achse aufzeichnen...

Wäre wirklich froh wenn mir das jemand erklären könnte!

Vielen Dank schon mal im Voraus :)

Antwort
von isbowhten, 19

weil deine funktion y heißt. du berechnest also auch die stellen y, an denen f(y)=0 ist. wie in deinem text. y nimmt hier die rolle des arguments einer funktion an.

ich denke, du hast noch nicht ganz verstanden, was das phasenportrait ist.

die y-achse, welche so heißt, weil diene funktion auch y heißt, ist der raum der punkte, die deine funktion y annehmen kann. wäre man an einem dieser punkte, zB y=1, dann gilt y'=f(y)=f(1). also auf der y-achse befindest du dich nun bei y=1, und dann zeichnest du einen pfeil in die richtung, in die f(1) zeigt. denn f(1) ist die ableitung, d.h. die änderung deiner funktion y. wenn du bei y=1 warst, dann zeichnest du mit f(1) also die änderung deiner funktion y an die stelle y=1 heran. damit kannst du ablesen, wie sich deine lösung y verhält, wenn du bei y=1 warst, weil du sozusagen einen kleinen schritt weiter in richtung der ableitung einen pfeil zeichnest.

du hast so wie es scheint auch nur genau eine achse. der ganze vorgang kann von x, oder physikalisch motiviert oft auch t (die zeit) abhängen. man zeichnet hier aber nicht eine lösungsfunktion y in abhängigkeit von t (also 2 achsen) ein, sondern für jeden "anfangswert" y0 den daraus resultierenden verlauf deiner lösung unabhängig vom genauen zeitpunkt. stell dir das vor wie eine kugel, die ein gefälle runterrollt. du schaust von oben drauf und die zeit ist die egal. du willst nur wissen, wohin die kugel rollen wird. also machst du einen pfeil. (also nur eine achse, weil die zeit nicht interessiert)

Kommentar von Australia23 ,

Vielen Dank für deine Antwort. Das mit dem Phasenportrait war mir eigentlich schon klar, aber mein Fehler lag anscheinend darin, dass ich davon ausgegangen bin, dass f(y) auch von x abhängt (also sozusagen f(y(x)) ist), da y'(x) ja von x abhängig ist...

Also substituiert man eigentlich y(x) mit y  und hat dann eine von y abähngige Funktion f(y)?

Kommentar von isbowhten ,

so kann man das auch sehen, ja.

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