Parallele Tangenten zweier Graphen
Hallo community, ich bereite mich gerade auf die Matheklausur vor und habe bei der folgenden Frage Probleme die Lösung heraus zu finden:
An welcher Stelle sind die Tangenten an die Graphen von f(x)=1+x-x²-x³ und g(x)=2x²-8x-1 parallel zueinander?
Parallel zueinander heißt ja, dass die Tangentensteigung bei beiden gleich ist. Also f'(x)=g'(x). Nachdem ich die Ableitungen gebildet und sie gleichgesetzt habe, bekomme ich am Ende durch die p-q-Formel x=3 und x=-5 raus. Was muss ich jetzt machen um die Aufgabe zu lösen?
P.S.: Wenn ich die Frage richtig verstanden habe, ist ja nach der einen "Stelle" gefragt. Doch wenn ich x=3 und x=5 bei f(x) oder g(x) einsetze habe ich ja letztendlich 4 verschiedene Stellen :S
Mit freundlichen Grüßen
2 Antworten
Dein Ansatz ist absolut korrekt.
f'(x) = - 3x² - 2x + 1 ; g'(x) = 4x - 8
f'(x) = g'(x)
-3x² - 2x + 1 = 4x - 8
-3x² - 6x + 9 = 0
x² + 2x - 3 = 0
x1 = 3 ; x2 = - 1
(Wie du auf x = 5 kommst, kann ich gerade nicht nachvollziehen...)
Und somit bist du fertig. Mit "Stelle" meint man ja stets lediglich die x- Koordinate des gesuchten Punktes. Also haben die Tangenten bei x = 3 und x = -1 dieselbe Steigung.
Danke, du hast Recht... Es steht ja "-p/2" in der p/q-Formel... ^^
Hier ist eine ähnliche Aufgabe, hier muss man aber die Schnittpunkte berechnen:
Gegeben sind die Funktionen f(x)=x²-2x und g(x)=-x²+0,5x. Berechne die beiden Schnittpunkte von f und g und zeige, dass sich die Tangenten in den Schnittpunkten orthogonal schneiden.
Ich habe zuerst beide Gleichungen gleichgesetzt: x²-2x=-x²+0,5x, da man ja gemeinsame Stellen beider Gleichungen sucht. Als Ergebnis habe ich dann x=0 und x=1,25 raus. Ist das richtig so, wenn ja wie muss ich jetzt weiter machen? Bei x=0 ist y ja auch 0, aber wo muss ich die x jetzt einsetzen?
Das wäre dann die letzte Aufgabe die ich nicht verstanden habe, vielen Dank!
Zwei Tangenten mit den Anstiegen m1 und m2 sind dann orthogonal zueinander, wenn gilt: m1 * m2 = -1
Als erstes berechnen wir die Schnittpunkte der beiden Graphen.
x² - 2x = -x² + 0,5x
2x² -2,5x = 0
x(2x - 2,5) = 0
x1 = 0 ; x2 = 1,25
Jetzt müssen wir gucken, welche Anstiege die beiden Tangenten an den Stellen haben. Dafür brauchen wir die ersten Ableitungen.
f ' (x) = 2x - 2
g ' (x) = -2x + 0,5
f ' (0) = -2 ; g ' (0) = 0,5.
-2 * 0,5 = -1 => Die Tangenten sind an der Stelle x = 0 orthogonal.
f ' (1,25) = 0,5 ; g ' (1,25) = -2
0,5 * (-2) = -1 => Die Tangenten sind an der Stelle x = 1,25 orthogonal.
Du hast dich verrechnet. Schnittpunkte von f ' und g ' sind 1 und -3
Kleiner Vorzeichen Tippfehler bei dir:
Aus x² + 2x - 3 = 0 folgt:
x1 = -3 und x2 = 1