Was ist eine geeignete Funktion für die Flugbahn des Balles?
Ein Ball wird aus einer Kanone unter einem 45 Grad Winkel abgeschossen und landet 15 m im entfernten Wasserbehälter, der gegenüber der Kanonenöffnung 3.75 m höher steht! Wie kann man nun eine Funktionsgleichung aufstellen? Ich komme leider nicht weiter!
3 Antworten
Die Flugbahn ist eine Parabel, also eine quadratische Funktion.
Allgemeine quadratische Funktion: f(x) = a * x² + b * x + c
Die Funktion hat drei unbekannte Konstanten: a, b, c
Ableitung: f'(x) = 2 * a * x + b
Winkel: alpha = 45° = Pi/4
Wir haben also drei Bedingungen.
- Steigung der Funktion: f'(0) = tan(alpha) = 1
- Startpunkt: f(0) = 0
- Zielpunkt: f(15) = 3.75
Mithilfe der ersten Bedingung können wir den Wert der Variablen b ermitteln.
f'(x) = 2 * a * x + b
f'(0) = 1
b = 1
Nun hat unsere Funktion nur noch zwei unbekannte Konstanten.
f(x) = a * x² + x + c
Mithilfe der zweiten Bedingung können wir den Wert der Variablen c ermitteln.
f(0) = 0
c = 0
Nun hat unsere Funktion nur noch eine unbekannte Konstante.
f(x) = a * x² + x
Mithilfe der dritten Bedingung können wir den Wert der Variablen a ermitteln.
f(x) = a * x² + x
f(x) - x = a * x²
a = (f(x) - x) / (x²)
Für x = 15: f(x) = 3.75
a = (3.75 - 15) / (15²) = -1 / 20
Ergebnis: f(x) = (-1 / 20) * x² + x
Wenn irgendetwas fliegt,
ist bei Schulmathe die Flugbahn immer eine Parabel.
und das ist f(x) = ax^2 + bx + c
jetzt braucht man
a, b und c.
Man überlegt und überlegt und findet , daß der Ball am Punkt ( 0 / 0 ) startet und in ( 15 / 3,75) landet.
Weil es eine Parabel ist , ist die höchste Stelle der Flugbahn in der Mitte bei ( 7,5 / ? )
Und weil diese Stelle mathematisch ein Hochpunkt HP ist , gilt f ' ( HP) = 0
f ' ( x) = 2ax + b
also 0 = 2 a * 7,5 + b (1)
mit ( 0 / 0 ) setzt man 0 = a * 0 ^2 + b * 0 + c >>>> c = 0
mit (15 / 3,75 ) setzt man (ohne c jetzt) 3,75 = a * 15^2 + b + 15.....(2)
nun hat man (1) und (2) und kann daraus a und b bestimmen.
viel arbeit, aber für die Schule lohnt die Arbeit doch immer , oder ?
wenn dem so wäre , dann wäre keine lösung machbar (mit den angaben in der schule ).
die gesamte Flugbahn ist parabelförmig . Da kommt der Ball an jedem Punkt der Parabel vorbei . Nur wird der hier bei (15/3,75) "abgefangen" und dir damit widersprechen ..... aber das wäre falsch ......du liegst richtig . . Dann bleibt bei so wenig Bedingungen ( 2 Punkte) nur noch übrig, daß es sich um f(x) = x² + ax + b handelt (ungwöhnlich) ........ ach ja , oder besser : aus alpha wird die Steigung in ( 0 / 0 ) erschlossen.
Drei Bedingungen, drei Unbekannte.
f(x) = a * x² + b * x + c
Bedingung 1: f'(x) = 0 (Abschuss unter 45°-Winkel.)
Bedingung 2: f(0) = 0 (Startpunkt)
Bedingung 3: f(15) = 3.75 (Zielpunkt)
Drei Gleichungen, drei Unbekannte funktioniert im Allgemeinen.
Lösung siehe meine Antwort. Es ist zugegebenermaßen etwas kompliziert für eine Schulaufgabe, aber es ist tatsächlich machbar, ohne die Bewegungsgleichungen (= Differentialgleichungen) aufzusetzen und zu lösen. Es funktioniert tatsächlich mit elementarer Differentialrechnung.
Wenn man die Ableitung bildet und gleich null setzt, findet man den Extrempunkt (Scheitelpunkt) übrigens bei x = 10, also deutlich hinter der halben Abschussweite.
über die 0 statt der 1 hatte ich mich auch gewundert , war mir aber nicht sicher.
Physikalisch überlagern sich hier - wenn man, wie üblich, den Luftwiderstand vernachlässigt - die geradlinige Bewegung in 45°-Richtung mit der Abschussgeschwindigkeit und der freie Fall.
Mathematisch ist die Flugbahn eine Parabel.
Das wäre nur der Fall, wenn Punkt B auf der selben Höhe läge, wie Punkt A.
Nachdem Punkt B allerdings höher liegt, ist der Extrempunkt natürlich nicht auf der Hälfte der Strecke, sondern näher an Punkt B. (Die Funktion ist, ausgehend vom Scheitelpunkt, in Richtung Punkt B noch nicht so weit abgefallen, wie in Richtung Punkt A.)