Was ist der Unterschied zwischen einer Umkehrabbildung und einem Urbild?
Beides wird doch mit f^‐1 bezeichnet.
5 Antworten
Es gibt da vor allem zwei Aspekte, die ich als Unterschiede nennen würde:
- Urbilder gibt es auch dann, wenn es keine Umkehrabbildung gibt. (Nicht jede Abbildung hat eine Umkehrabbildung.)
- Bei einer umkehrbaren Abbildung f: D → Z bildet die Umkehrabbildung f⁻¹: Z → D Elemente von Z auf Elemente von D ab. Beim Urbild erhält man hingegen zu jeder Teilmenge M von Z eine entsprechende Teilmenge f⁻¹(M) von D als Urbild.
====== Beispiel 1 ======
Diese Abbildung ist nicht injektiv, da beispielsweise f(2) = f(-2) ist, obwohl 2 ≠ -2 ist. Dementsprechend ist diese Abbildung auch nicht bijektiv. Es existiert keine Umkehrabbildung.
Jedoch existiert zu jeder Teilmenge B der Zielmenge ℤ eine entsprechende Urbildmenge
Beispielsweise ist...
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Merke: Es gibt zu jeder Abbildung f: D → Z eine Abbildung f⁻¹: P(Z) → P(D), welche jeder Teilmenge M ⊆ Z jeweils das entsprechende Urbild f⁻¹(M) = {x ∈ D | f(x) ∈ M} zuordnet.
======Beispiel 2======
Wenn es eine Umkehrabbildung f⁻¹: Z → D gibt...
Dann erhält man zu jeder einelementigen Teilmenge {b} ⊆ Z immer eine einelementiges Urbild f⁻¹({b}) = {a} ⊆ Z. Des Weiteren ist dann beim Urbild genau dann f⁻¹({b}) = {a}, wenn bei der Umkehrabbildung f⁻¹(b) = a ist.
Beispiel:
Hier gilt beispielsweise bei der Umkehrabbildung...
Und für die entsprechenden Urbilder gilt...
Da merkt man doch: Bis auf die Mengenklammern gibt es in diesen Beispielen da quasi keinen Unterschied. Daher nimmt man für beides [Umkehrabbildung und Urbilder] auch die gleiche Bezeichnung f⁻¹. Ob man dann in einem konkreten Fall die Umkehrabbildung oder Urbilder betrachtet, kann man trotzdem noch daran erkennen, ob mit Elementen oder mit Mengen gearbeitet wird.
Des Weiteren gilt in meinem Beispiel bei den Urbildern beispielsweise...
[Bei den Urbildern kann man das Urbild einer beliebige Teilmenge der Zielmenge erhalten. Man muss sich nicht unbedingt auf einzelne Elemente beschränken.]
Warum gehört hier 5 mit zur Wertemenge wenn doch die Abbildungsvorschrift lautet: f: x↦x² ?
Zunächst einmal sollte man klären, was du hier mit Wertemenge meinst. Mit dem Begriff „Wertemenge“ können nämlich zwei unterschiedliche Dinge gemeint sein.
Bei einer Abbildung f: D → Z gibt es...
1. die Bildmenge f(D) = {f(x) | x ∈ D}.
2. die Zielmenge Z.
Sowohl die Bildmenge als auch die Zielmenge können mit „Wertemenge“ gemeint sein.
Im konkreten Beispiel ist die Funktion f: ℤ → ℤ, x ↦ x² betrachtet worden. Nach Definition mit „→ ℤ“ ist ℤ als Zielmenge festgelegt worden. Wenn mit der „Wertemenge“ die Zielmenge gemeint ist, ist 5 also in der Wertemenge ℤ enthalten.
Wenn mit der „Wertemenge“ die Bildmenge f(ℤ) = {f(x) | x ∈ ℤ} = {x² | x ∈ ℤ} gemeint ist, so ist 5 tatsächlich nicht in der Wertemenge f(ℤ) enthalten, da es kein x ∈ ℤ mit f(x) = 5 gibt.
Nun ist es jedoch egal, ob 5 in der Bildmenge ist. Man kann das Urbild einer jeden Teilmenge der Zielmenge betrachten. Und 5 ist in der Zielmenge enthalten. (Theoretisch müsste man sich noch nicht einmal unbedingt auf Teilmengen der Zielmenge beschränken, sondern könnte jede Menge betrachten. Allerdings wird das praktisch normalerweise nicht gemacht.)
Man kann doch ohne Probleme f⁻¹({4, 5}) beschreiben. Diese Menge besteht aus allen Elementen x ∈ ℤ für die f(x) ∈ {4, 5} ist. Dass es kein x mit f(x) = 5 gibt, ist nun erst einmal relativ egal. Man kann trotzdem für jedes x überprüfen, ob f(x) ∈ {4, 5} ist, oder nicht. Dass es kein x mit f(x) = 5 gibt, sorgt einfach nur dafür, dass bei f⁻¹({4, 5}) keine zusätzlichen Elemente im Vergleich zu f⁻¹({4}) gibt.
Ähnlich ist es beim Beispiel f⁻¹({5}) = ∅ in meiner Antwort. Es gibt kein x mit f(x) = 5, weshalb das entsprechende Urbild leer ist (also gleich der leeren Menge ist).
„Jedoch existiert zu jeder Teilmenge B der Zielmenge ℤ eine entsprechende Urbildmenge f⁻¹(M) = {x ∈ ℤ ∣ f(x) ∈ M}.“
Hast du bei diesem Punkt vielleicht nicht Teilmenge M gemeint? Warum stellt Z die Zielmenge dar, wenn Z als Definitionsmenge dargestellt wird, die nach M abgebildet werden?
Nein, ich habe da nicht Teilmenge von M gemeint. Ich habe das so gemeint, wie ich es aufgeschrieben habe.
1. Bei {x ∈ ℤ ∣ ...} habe ich „x ∈ ℤ“ verwendet, da ℤ hier die Definitionsmenge der Abbildung f: ℤ → ℤ ist. Dies hat übrigens auch zur Folge dass diese Menge [das Urbild f⁻¹(M)] eine Teilmenge der Definitionsmenge ℤ der Abbildung ist. Die Menge enthält nun alle Elemente x ∈ ℤ [aus der Definitionsmenge], welche eine gewisse Bedingung erfüllen...
2. Für die Elemente x ∈ ℤ [aus der Definitionsmenge] wird nun der Funktionswert f(x) betrachtet, was ein Element der Zielmenge ℤ ist. Für dieses Element der Zielmenge wird nun [entsprechend der Bedingung f(x) ∈ M] überprüft, ob es auch ein Element der Menge M ist. (Wobei M eine Teilmenge der Zielmenge ℤ ist.) Is die Bedingung erfüllt wird x zur Menge f⁻¹(M) gezählt. Ist die Bedingung nicht erfüllt, wird x nicht zur Menge f⁻¹(M) gezählt.
3. Eine Teilmengenbedingung f(x) ⊆ M würde hier keinen Sinn ergeben, da f(x) gar keine Menge, sondern eine ganze Zahl, ist.
Hallo,
die Umkehrabbildung einer Abbildung f ist eine Abbildung,
das Urbild einer Menge unter f ist eine Menge
(und zwar eine Teilmenge der Definitionsmenge von f).
Umkehrabbildung und Urbild sind also zwei verschiedene mathematische "Objekte".
Was im Text mit f⁻¹... gemeint ist, lässt sich (bei klarer Formulierung) dem Zusammenhang entnehmen.
Gruß
Das Urbild ist für jede Funktion definiert, und du setzt dort Teilmengen der Zielmenge ein und es kommt eine Menge raus.
Die Umkehrfunktion existiert nur wenn die Funktion Bijektiv ist, und du setzt dort Elemente der Zielmenge ein und es kommt ein Element der Wertemenge raus.
Einfaches Beispiel:
Sei A= {1,2,3}, B = {1,2}
Sei dann f:A->B Mit
f(1)=f(2)=1
f(3)=2
Dann ist f^(-1)({1})= {1,2}, die Umkehrfunktion existiert jedoch nicht, da f nicht bijektiv ist.
Die Urbildfunktion ist eine Funktion, die eine Teilmenge der Zielmenge auf eine Teilmenge der Definitionsmenge abbildet.
Diese Urbildfunktion gibt es immer, egal, wie die Funktion aussieht.
Die Umkehrabbildung gibt es nur von bijektiven Funktionen - da wird ein Element y der Zielmenge auf das eindeutig bestimmte Element x der Definitionsmenge abgebildet, für das f(x)=y gilt.
Wenn die Funktion nicht bijektiv ist, dann ist die Umkehrfunktion nicht definiert: Ist f nicht injektiv, dann hat ein y aus der Zielmenge evtl. mehr als ein Urbild, ist f nicht surjektiv, dann gibt es Element aus der Zielmenge, für die es gar kein Urbild in der Definitionsmenge gibt.
Wenn du z. B. die Funktion f(x) = x², f: R->R nimmst:
Das Urbild für eine Menge {y} ist entweder die leere Menge (wenn y < 0 gilt), es ist ist die Menge {0} (wenn y = 0) oder es ist {Wurzel(y), -Wurzel(y)} (wenn y>0). Eine Umkehrfunktion hat f dagegen nicht.
Eben, das ist der Unterschied. Gut erkannt.
Man muss aufpassen. Es ist nur am Kontext ersichtlich, was gemeint ist.
Warum gehört hier 5 mit zur Wertemenge wenn doch die Abbildungsvorschrift lautet: f: x↦x² ?
Hast du bei diesem Punkt vielleicht nicht Teilmenge M gemeint? Warum stellt Z die Zielmenge dar, wenn Z als Definitionsmenge dargestellt wird, die nach M abgebildet werden?