Was ist der Unterschied zwischen einem Urbild und einer Umkehrfunktion?

Hi,

was ist eigentlich der Unterschied zwischen einem Urbild und einer Umkehrfunktion?

Meine Vermutung ist, dass das Urbild nur einen Ausschnitt des Abbilds der Umkehrfunktion darstellt. Stimmt das, oder liegt der Unterschied an einer anderen Stelle?

LG:)

Answer 1

[MagicalGrill]

Sei f eine Funktion von A nach B. Der erste wichtige Unterschied ist, dass eine Umkehrfunktion von f überhaupt nur dann existiert, wenn f bijektiv ist (je nach Lehrbuch reicht evtl auch Injektivität). In diesem Fall ist die Umkehrfunktion eben eine Funktion von B nach A. Urbilder hingegen existieren immer.

Der nächste Unterschied: Die Umkehrfunktion (soweit existent) kriegt als "Eingabe" Elemente von B (es ist eben eine Funktion von B nach A), das Urbild hingegen bekommt eine Teilmenge von B.

Die "Ausgabe" der Umkehrfunktion ist ein Element von A, das Urbild hingegen eine Teilmenge von A.

Zusammengefasst: Urbild und Umkehrfunktion teilen sich zwar dasselbe Symbol, arbeiten aber auf komplett unterschiedlichen Ebenen.

Comments

[AutisticIndian]

Gilt nicht bei der Urbildfunktion: A ist Teilmenge von dem Urbild

Bsp A = { 2, 3 } B = N , f: A -> B mit Abbildungsvorschrift x -> x^2

Dann ist das Bild { 4, 9 } und das Urbild { 2, -2, 3, -3 }, und somit A Teilmenge des Urbilds.

[MagicalGrill]

@AutisticIndian

Im Gegenteil: Ein Urbild unter f: A -> B ist immer eine Teilmenge von A. Wenn du dir die Definition des Urbildes anguckst (Brainchild hat sie ja in einer anderen Antwort geschrieben) siehst du, dass jedes Element eines Urbildes unter f zugleich ein Element von A sein muss.

Demnach können auch die Elemente -2 und -3 nicht im Urbild von {4, 9} liegen, denn auf denen ist die Funktion ja gar nicht definiert.

[AutisticIndian]

@MagicalGrill

Mein Kommentar war auf die Urbildfunktion bezogen

[MagicalGrill]

@AutisticIndian

Ich verstehe den Einwand nicht. Die Urbildfunktion nimmt als Input eine Teilmenge von B und wirft sie auf ihr Urbild unter f. Sie ist also eine Abbildung P(B) --> P(A) [P für Potenzmenge].

Nennen wir diese Funktion mal u. Wenn jetzt x eine beliebige Teilmenge von B ist, dann ist per Definition u(x) eine Teilmenge von A. Insbesondere ist auch u(B) eine Teilmenge von A. [Tatsächlich gilt sogar u(B) = A, da jedes Element aus A auf jeden Fall nach B abgebildet wird.]

Dann ist das Bild { 4, 9 } und das Urbild { 2, -2, 3, -3 }, und somit A Teilmenge des Urbilds.

Unabhängig davon ob du von der Urbildfunktion redest oder nicht, ist dieser Satz falsch. Das Urbild kann keine Elemente beinhalten, die nicht auch im Definitionsbereich der Funktion liegen.

Answer 2

[Brainchild]

$f:A\rightarrow B$ $f^{-1}:B\rightarrow A\ \ \ \ \ \ \ \ ist\ die\ Umkehrfunktion$ $Es\ gilt:\ \ \ \ \ \ \ \ f^{-1}(f(x))=x$

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Studium der Informatik + Softwareentwickler seit 25 Jahren.

Answer 3

[Brainchild]

Urbild von M unter f:

$f^{-1}(M):=\left\{x\in A|f(x)\in M\right\}$

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Studium der Informatik + Softwareentwickler seit 25 Jahren.

Answer 4

[AutisticIndian]

@ MagicalGrill Gilt nicht bei der Urbildfunktion: A ist Teilmenge von dem Urbild

Bsp A = { 2, 3 } B = N , f: A -> B mit Abbildungsvorschrift x -> x^2

Dann ist das Bild { 4, 9 } und das Urbild { 2, -2, 3, -3 }, und somit A Teilmenge des Urbilds.