Was genau ist ein Spatprodukt und ein Skalarprodukt?
Was genau versteht man unter Spat bzw Skalarprodukt
Ist ein Spatprodukt bzw ein Skalarprodukt wenn ich zwei Vektoren überkreuz nehme sprich a kreuz b das was raus kommt ist dann ein Spat bzw Skalarprodukt oder muss man noch aus a kreuz b das ergebnis mal den dritten vektor mal nehmen damit es ein Spat bzw Skalarprodukt ist?
2 Antworten
Mit dem Skalarprodukt misst du den Winkel zwischen zwei linear unabhängigen ,nicht windschiefen Vektoren a und b.Es sollte dir bewusst sein,das die oben genannten Eigenschaften von Vektoren im euklidischem Raum automatisch zu einer aufgespannten Parallelogramm Ebene führt.Bildest du nun das Kreuzprodukt der beiden Vektoren,also a x b=c.So erhältst du einen neuen Vektor c ,der eine dritte Dimension erfordert.Ansonsten würde es zu einer linearen Abhängigkeit von drei Vektoren in der Ebene kommen.Dieser Vektor c orientiert die Parralelogrammfläche im Raum.Zudem räpresentiert dessen Betrag die Fläche des Parallelogramms .
Nun kommt kommt wieder das Skalarprodukt ins Spiel:
das Skalarprodukt zwischen dem Vektor c und dem Vektor d,welcher der Höhe des Spatprodukt entspricht(nicht orthogonal zu Vektoren a,b aber in gleicher Ebene wie c Vektor liegend-->mache dir das bildlich klar!).Beide Vektoren sind ebenfalls linear unabhängig und ebenfalls nicht windschief .Diese Konfiguration entspr. nun dem orientiereten Volumen .Obwohl ein Skalarprodukt zu einer Zahl führt wird in der Notation meistens trotzdem ein Betrag drum geschnürt um das Volumen des Spät zu bestimmen.Das war für das orientierte Parallelogramm nicht nötig(Warum?).Man möchte damit die Orientierung ,welche zu einem negativen Volumen führen könnte umgehen.
Spatprodukt ist (a x b) * c
Also das Innprodukt eines Vektors mit dem Kreuzprodukt zweier anderer Vektoren.
Das Skalarprodukt ist a*b man sagt auch Innprodukt dazu.
Beim Spatprodukt kommt eine Zahl raus und es ist das Volumen des durch die 3 Vektoren aufgespannten Spats. Daher auch der Name Spatprodukt.
beim skalarprodukt kommt ein zahl raus aber was soll beim spatprodukt rauskommen ein Vektor oder auch eine zahl und wenn eine zahl raus kommt ist es dann das volumen?