Sind die Vektoren a,b,c linear abhängig, wenn das Spatprodukt ( a x b ) * c ungleich 0 ist und wie deutet man diesen Sachverhalt geometrisch?
Hallo ich sollte den oben beschriebenen Sachverhalt deuten und habe dies geometrisch getan. Nämlich, dass ( a x b ) ja den Flächeninhalt des Spats darstellt und c die Höhe. Somit wird ein Volumen des Spats dagestellt, welches ja nur ungleich 0 sein kann, wenn c nicht in der selben Ebene liegt ( Linear unabhängig ).
Mein Lehrer fande diese Deutung interessant, möchte jetzt allerdings wissen, was passiert, wenn vektor a und b parallel sind, also das Kreuzprodukt schon null ergibt.
Theoretisch sind dann a b und c linear unabhängig obwohl das Spatprodukt 0 ergibt.
4 Antworten
Hallo,
wenn a und b parallel sind, gibt es einen Faktor t, so daß gilt: a=t*b. Das bedeutet, daß a und b linear abhängig sind.
Da Deine Voraussetzung (a und b sind parallel und linear unabhängig) falsch ist, stimmt auch die Schlußfolgerung nicht (a, b und c sind linear unabhängig).
Das Kreuz- oder Vektorprodukt zweier Vektoren ergibt nicht Null oder irgendeine andere Zahl, sondern wieder einen Vektor. Das Vektorprodukt von zwei dreidimensionalen parallelen Vektoren ist der Vektor (0;0;0).
Null werden kann hingegen das Skalarprodukt zweier Vektoren, denn es handelt sich um das Produkt der Beträge (also der Längen) dieser Vektoren und dem Cosinus des zwischen ihnen eingeschlossenen Winkels. Wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist der Winkel zwischen ihnen ein rechter, also 90°, was bedeutet, daß der dazugehörige Cosinus gleich Null ist. Wenn in einem Produkt ein Faktor Null ist, so ist das ganze Produkt gleich Null.
Dies ist bei parallelen Vektoren nicht der Fall. Zwischen ihnen ist der Winkel gleich Null, der Cosinus also gleich Eins, ihr Skalarprodukt also das Produkt ihrer Beträge.
Den Betrag eines Vektors berechnet man übrigens aus der Wurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten. Der Betrag des Vektors (1;2;3) ist gleich die Wurzel aus 1²+2²+3³, also die Wurzel aus 14.
Wenn Du das Skalarprodukt zweier Vektoren durch das Produkt seiner Beträge teilst, erhältst Du den Cosinus des zwischen ihnen eingeschlossenen Winkels. Bei parallelen Vektoren ist dieser Quotient gleich 1, bei aufeinander senkrecht stehenden gleich Null.
Herzliche Grüße,
Willy
Du kannst doch a b oder c in beliebiger Reihenfolge in dein Spatprodukt einsetzen. Der Sachverhalt bleibt immer der gleiche: Liegen alle drei Vektoren in einer Ebene, spannen sie kein Volumen auf. Sind zwei von den dreien parallel zueinander, dann liegen sie alle drei ebenfalls in einer Ebene und sind somit ebenfalls linear abhängig.
wenn (a x b) * c = 0 ist, dann steht c senkrecht auf dem spatprodukt von a und b. das spatprodukt von a und b steht nach definition auf a und b.
also steht c senkrecht auf einem vektor, der senkrecht auf a und b steht.
d.h c liegt in der ebene von a und b, also ist c eine linearkombination aus a und b
Hast du schon mal von der ===> Determinante gehört? Wenn nein, dann frag deinen Lehrer, was das ist .
( a X b ) * c = det ( a | b | c ) ( 1 )
Du hast den Kern der Sache verstanden. Nach welcher Formel berechnest du das Kreuzprodukt? Ich meine die Fläche eines Dreiecks, das von den beiden Vektoren a und b aufgespannt wird, ist doch
F = 1/2 a X b ( 2 )
Dem Betrag nach ist das doch a b sin ( Gamma ) ; und die Fläche wird dargestellt durch ihren Normalenvektor.
Kreuzprodukt und Determinante haben dies gemeinsam: Sie sind Null genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind.
Du müsstest mal in einem schlauen AGULA-Buch schauen; z.B. Kowalsky oder Greub; Stichwort ===> Grassmannalgebra. In unserem dreidimensionalen Raum gibt es nur die 2-Form ( Kreuzprodukt aus zwei Vektoren ) so wie die 3-Form ( Determinante aus drei Vektoren. )
In einem Raum der Dimension 4 711 gäbe es z.B. auch 100-Formen. Und wieder gilt das Prinzip: Die Form ist Null genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind.
Du das ist keine Esoterik; schon mal vom ===> antropischen Prinzip gehört? Könnten sämtliche 92 elektronen des Uranatoms in der K-Schale Platz nehmen, so gäbe es uns gar nicht - es gäbe ja keine Chemie. Tja warum können sie das eigentlich nicht? ===> Pauliprinzip Das Pauliprinzip regelt, dass wenn die ===> Wellenfunktionen von n elektronen gleich ( genauer: linear abhängig sind ) dass dann der Vielteilchen-also n-Teilchenzustand Null wird.
Die Konfigurationen für n elektronen sind nämlich genau solche Determinanten.