Was ergibt der natürliche Logarithmus eines Volumens?
4 Antworten
Hallo therandomUser,
hierin ist die Frage enthalten, ob man überhaupt die Logarithmusoperation auf eine physikalische Einheit anwenden kann. Klare Antwort: Nein. Macht keinen Sinn. Trotzdem mag es Gründe geben auch eine Volumenbetrachtung zu logarithmieren z.B. wenn eine Volumenprozess über mehrere Dekaden geht oder Du z.B. die Volumina aller Lebewesen vom Bakterium bis zum Dinosaurierer auf einer Skala darstellen willst. In dem Fall logarithmiert man ein Volumenverhältnis, also eine dimensionslose Größe. Du suchst Dir irgendein Normalvolumen aus, beispielsweise das Durchschnittsvolumen eines Menschen und betrachtest nur noch Vielfache und Teile eines Menschenvolumens. Nur so als Beispiel. Geläufige Beispiele sind Lautstärken und Empfangsleistungen bei der Funkübertragung. Stichwort: Dezibel.
Das ist in der Tat ein interessantes Integral. Einmal angenommen X=ax+b hat eine physikalische Bedeutung und damit auch eine physikalische Einheit. Zur leichten Veranschaulichung machen wir das konkret und sagen es sind "Volt". Dann findet man eine Stammfunktion
Integral[1/(ax+b)*dx]=1/a*ln|ax+b| + C
In der Tat ist man nun in der Verlegenheit den Logarithmus von "Volt" definieren zu müssen. - Scheinbar. Wenn es sich tatsächlich um ein Integral handelt, das technisch-physikalisch motiviert ist, dann ist man auch genötigt aus dem unbestimmten ein bestimmtes Integral zu machen. Man muss Ober- und Untergrenzen einsetzen und eine Differenz errechnen. Das nimmt dann folgenden Form an:
1/a* [ln|ax_o + b| - ln|ax_u + b|]
Nun kann man die Differenz zweier Logarithmen durch den Quotienten ersetzen:
1/a*ln[|ax_o + b|/|ax_u + b|]
Hier macht man nun die interessante Erfahrung, dass in Wahrheit zunächst ein Verhältnis zweier Spannungen errechnet werden muss. Der Logarithmus wird dann von einer dimensionslosen Zahl berechnen, womit die Welt wieder in Ordnung wäre.
Es gibt tatsächlich in der Feldtheorie ein mir bekanntes Phänomen, das mit solch einem Ansatz berechnet wird. Soweit ich mich erinnere nimmt die elektrische Feldstärke einer unendlich langen Linienladung reziprok zur Entfernung ab. Das elektrische Potential wird als Wegintegral über die elektrische Feldstärke berechnet und nimmt logarithmisch abnehmende Werte an.
Logarithmen kann man nur von dimensionslosen Zahlen berechnen. Ein Volumen ist aber keine dimensionslose Zahl. Es ist eine dimensionsbehaftete Größe mit der Dimension Länge hoch drei.
Du kannst höchstens das Verhältnis des Volumens zu einem Vergleichsvolumen logarithmieren. Bei dem Verhältnis kürzen sich die Dimensionen heraus.
Wenn, wie Du sagst, eine Dgl. eine Lösung nach dem Muster ln(*ein Volumen*) ergibt, dann ist die Dgl. falsch (unphysikalisch) aufgestellt.
3 mal die Seitenlänge als log, wenn es ein Würfel ist.
3mal den nat. Log. der Seitenlänge eines Wüefels mit gleichem Volumen. Nur wozu soll das gut sein?
Es ist kein Würfel. Außerdem verstehe ich die Antwort nicht ganz. Ich habe aus einer Differenzialgleichung ~ln(*ein Volumen*)~ bekommen, welche Dimensionen(Zeit, Länge, Masse, Temperatur...) hat das dann?
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;-)
Integral "∫dx/X; X=ax+b" wobei X eine physikalische Einheit hat, x/X auch.