Was bedeutet dieses Zeichen bei Gruppen? (Mathematik)?

Was bedeutet dieses:

Zeichen?

Bei Abbildungen heißt es Gleichmächtig, aber was bei Gruppen?

Answer 1

[grtgrt]

Ich würde diese Formel lesen als die Behauptung, dass der Restklassenring Z/12Z nach Ersetzen seiner Addition durch seine Multiplikation isomorph sei zum direkten Produkt zweier Exemplare des normalen Restklassenringes Z/2Z.

Comments

[kariko39]

Okay, danke da hätte ich noch eine kurze Frage. Die bijektivität sagt ja auch gleichzeitig gleichmächtigkeit, heißt wenn ich eine Bijektive Abbildung von a --> b habe, darf ich dann auch schreiben : a~b, statt a-->b? Bedeutet das das gleiche?

[grtgrt]

@kariko39

Nein (jedenfalls dann nicht, wenn die Tilde bedeuten soll "ist isomorph zu").

Ich bin mir auch nicht sicher, ob in deiner Formel oben das Paar .+ dasselbe bedeutet wie das ja auch mögliche Paar +. (denn das +. würde zu meiner oben genannten wahrscheinlichem Semantik der Formel eher passen als das .+).

Lies also besser mal in deinem Vorlesungsskript nach, wie diese Notation denn nun eigentlich genau definiert wurde.

[kariko39]

@grtgrt

Okay ,aber sind zwei Mengen, die bijektiv zueinander abgebildet werden können nicht immer gleichmächtig? Wenn ja, warum darf ich dann den Pfeil mit dem Zeichen nicht ersetzen, wenn ich eine Bijektion darstellen will?

[grtgrt]

@kariko39

Ja, das sind sie.

Aber dennoch bedeutet isomprph zu sein was anders als Abbildung zu sein. Es gibt ja schließlich auch nicht bijektive Abbildungen.

[MagicalGrill]

der Restklassenring Z/12Z nach Ersetzen seiner Addition durch seine Multiplikation

Das ist etwas unsauber formuliert, es geht hier um die Einheitengruppe von Z_12. Die benutzt zwar die Multiplikation von Z_12, aber da liegen nicht alle Elemente von Z_12 drin, sondern eben nur die multiplikativ invertierbaren.

Und auch ich würde das als Isomorphie-Symbol deuten.