Warum sei der Arctan ein Integral, wenn ich da nur X-Werte einsetze?
Hi, warum sei Arctan(t) gleich dem Integral?
Wenn ich z. B. nur Arctan(1) wissen möchte, warum kann ich da auch dieses Integral nutzen? Arctan(1) soll mir ja eigentlich nur den y-Wert der Funktion geben?
Normaelrweise bekomme ich ja die Fläche durch ein Integral, warum jetzt eine Funktion?
3 Antworten
Wenn du für t den Wert t=1 einsetzen möchtest, setzt du die obere Integrationsgrenze auf 1 und bekommst den gesuchten Funktionswert arctan(1) als den Wert des bestimmten Integrals von 0 bis 1.
Das folgt aus dem Fundamentalsatz der Analysis. Du weißt schon, dass arctan'(x)=1/(x^2+1) gilt (siehe vorherige fragen)
Aus dem Fundamentalsatz folgt dann, dass man den Wert vom Arctan mit diesem integral bestimmen kann.
Wenn ich z. B. nur arctan(1) wissen möchte, warum kann ich da auch dieses Integral nutzen?
Weil das Integral von 0 bis 1 den selben Inhalt wie arctan(1) (Fundamentalsatz)
Normaelrweise bekomme ich ja die Fläche durch ein Integral, warum jetzt eine Funktion?
1. Der Fundamentalsatz
2. Die Fläche ist nur eine Geometrische Interpretation des Integrals, mehr nicht.
Diese Form ist eine mögliche Definition des Arctan.
Wie würdest du denn vorgehen, wenn du den arctan(x) berechnen willst, aber keinen Rechner zur Hand hast?
Genau das haben sich ein paar schlaue Mathematiker auch gefragt (wahrscheinlich in anderer Reihenfolge) und haben herausgefunden, dass sich die Umkehrfunktion des Tangens auch als Reihe und als Integral darstellen lässt.
Dein Mathe-Prof oder ein Youtube-Video kann dir sicherlich die Herleitung dazu liefern, aber sofern du keine reine Mathematik studierst, musst du sehr wahrscheinlich diese Herleitung nicht kennen, sondern nur das Ergebnis anwenden können.
Das mir klar. Aber warum geht das? Außerdem ist das nicht ein Tippfehler, da müsste doch statt x oben ein t sein oder?