Warum lassen sich komplexe Zahlen nicht nach Größe ordnen?
Im Prinzip kann man doch unendlich viele konzentrische Kreise vom Ursprung aus annehmen und die komplexen Zahlen auf diese Weise nach der Größe ordnen..wieso würde das nicht funktionieren?
3 Antworten
Du kannst die komplexen Zahlen nach der Größe ihres Betrages "anordnen" - das machst Du mit Deinen konzentrischen Kreisen. Aber auf jedem der Kreise liegen unendlich viele Zahlen mit dem gleichen Betrag - die kann man dann nicht mehr sinnvoll untereinander ordnen, wie sollte man z. B. unterscheiden, ob (1+0i) oder (0+1i) oder (Wurzel(2)+Wurzel(2)i) größer ist?
Man könnte auch auf die Idee kommen, nur nach dem Realteil oder nur nach dem Imaginärteil zu ordnen - aber auch dann hast Du immer unendlich viel Zahlen, die "gleich groß" sind (Geraden in der komplexen Ebene)
Die Zahlen der Grösse nach zu ordnen ist nicht so schwierig (es gibt sogar eine sogenannte Wohlordnung der komplexen Zahlen), aber das bringt nichts, denn typischerweise will man, dass sie mit der Addition und Multiplikation vernünftig reagieren.
zB aus x>0 und y>0 folgt, dass x*y>0, sonst ist das irgendwie doof und bringt nicht wirklich etwas, desweiteren ist :
Aus x>0 und y>0 folgt x+y>0 auch noch wünschenswert. Wenn du aber diese zwei Forderungen stellst (was nach wenig aussieht), dann hast du schon folgendes Problem:
Wir nehmen mal an, das 1 positiv ist (1>0), wenn dem nicht so wäre, dann kehren wir einfach alle Ungleichheitszeichen. Wenn nun -1 auch positiv ist (-1>0), dann haben wir aber 1+(-1)=0, was nicht positiv ist, also erfüllt diese Ordnung nicht unsere Wünsche. Deswegen müssen wir davon ausgehen, dass -1 negativ ist.
Nun kann i positiv oder negativ sein. Wenn es positiv ist, so gilt i*i=-1, was negativ ist, aber das widerspricht unserer 1. Forderung. Wenn i negativ ist, so muss -i positiv sein. Sonst geht das mit der Addition wieder nicht. Dann folgt aber wieder das gleiche Probelm: (-i)*(-i)=-1, was negativ ist.
In Kürze: C kann man nicht der Grösse nach ordnen, so dass es mit der Addition und Multiplikation kommutierbar ist.
Wenn du das nicht verstanden hast, kann ich es gerne nochmals probieren besser zu erklären.
weil auf einem solchen Kreis beliebig viele Punkte liegen - alle mit der gleichen Größe....