warum ist eine funktion surjektiv wenn sie rechtsinvertierbar ist?
und warum injektiv wenn sie linksinvertierbar ist?
1 Antwort
Sei erstmal f: M->N gegeben.
Angenommen, die Funktion f ist linksinvertierbar, d. h. es gibt eine Funktion g mit gf = id.
Seien nun x, y gegeben mit f(x) = f(y). Dann ist auch
x = id(x) = g(f(x)) = g(f(y)) = id(y) = y.
Also ist f injektiv.
Angenommen, die Funktion f ist rechtsinvertierbar, d. h. es gibt eine Funktion g: N-> M mit fg=id.
Sei nun ein y aus N gegeben. Um die Surjektivität von f zu zeigen, muss ich ein x aus M finden mit f(x) = y.
Setze x = g(y). Dann ist f(x) = f(g(y)) = id(y) = y.
Also ist f surjektiv.
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)