Warum ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks (a² Wurzel aus 3)/4?

Hallo zusammen! Ich verstehe nicht, wie man auf die Formel des gleichseitigen Dreiecks, wo alle Winkel 60° sind kam, und warum man nicht einfach g * h * 1/2 rechnen kann. Es kommt etwas anderes raus, wenn man ein Beispiel nehme. Aber warum ist die Grundformel falsch und wie kam man auf die Formel (a² Wurzel aus 3)/4?

3 Antworten

riceball

06.03.2012, 15:03

Das ist reine Rechnerei.

Es ist egal, ob du bei einem gleichseitigen Dreieck gh1/2 nimmst oder die bereits umgeformte Formel, da das im Endeffekt die selbe Formel ist. Ich leite dir mal die "Spezialformel" her:

Ein gleichseitiges Dreieck hat ja 3 gleich lange Seiten, nennen wir diese a. Eine beliebige Höhe in diesem Dreieck teilt die der Ecke gegenüberliegende Seite genau in der Mitte. Mit dem Satz des Phythagoras (dafür brauchst du eine Skizze) ergibt sich dann für die Höhe: h²=a²-(1/2a)²

Diese Gleichung formen wir jetzt um: h²=a²-1/4a²=3/4a²

Um h zu bekommen braucht man jetzt noch die Wurzel: h=Wurzel (3/4a²)

Teilweises Wurzelziehen bringt dann: h=Wurzel(3/4a²)=a* Wurzel (3/4)=a* Wurzel (3* 1/4)=1/2 a * Wurzel (3)

Setzt man das jetzt in die Flächenformel A=g* h * 1/2 ein erhält man: A=a * 1/2 a* Wurzel (3) * 1/2 = a²* 1/4 * Wurzel 3= (a² Wurzel (3))/4

Beispiel: Ein gleichseitiges Dreieck mit a=10 cm: A=(a² Wurzel (3))/4= (10² Wurzel (3)) /4=43,3 cm²

Mit A=g * h * 1/2 kommt das selbe raus, wenn man zuvor h korrekt berechnet: h=1/2 a Wurzel (3)= 8,66 cm und A=10 cm * 8,66 cm * 1/2=43,3 cm²

MsLauraHouse

06.03.2012, 14:52

Also bei meinem schnellen Beispiel (a=g=6; F=9(wurzel3)) kommt bei beiden Formeln das gleiche raus. Grundsätzlich gilt die Grundformel gh/2 für ALLE Dreiecke, daher der Name.

Wie man auf die spezielle für gleichseitige Dreiecke kommt, kann ich dir leider auch nicht sagen.