Warum ist das so bei der linearen Gleichung mit 2 Variablen?
Guten Abend!
Ich habe vor kurzem eine lineare Gleichung mit 2 Variablen mit Hilfe des Additionverfahren aufgelöst. Die Aufgabe steht unten.
I: 2x + y = 12
II: 5x + y = 18
Ich habe gesehen, dass die erste Gleichung mit (-5) zu berechnen ist & die zweite Gleichung mit 2.
Meine Frage ist WARUM es ein minus vor dem 5er gibt. Das verwirrt mich sehr und bis jetzt habe ich niemanden gecheckt, der es mir erklären wollte.
Wie man sich diese Gleichung ausrechnet, verstehe ich, nur das mit dem minus dahinter nicht.
Es wäre sehr lieb, wenn mir jemand einen kurzen und einfachen Trick geben könnte, wieso das so ist.
Ich danke im Voraus.
10 Antworten
Da wollte einer beim Additionsverfahren einfach nur das erste Glied mit x eliminieren, um dann weiterzurechnen.
Das ist aber wohl schon viel zu umständlich. Denn hier ist ja bereits evident, dass man ganz einfach die erste Gleichung von der zweiten abzieht um y zu eliminieren.
Dann kommt da 3x=6 raus. Das können dann sogar Grundschüler vermutlich schon ohne Taschenrechner ausrechnen.
Die 2 für x setzt man dann wieder in die erste Gleichung ein und schon hat man auch y, nämlich 8.
LOL!
Da du dein x wegbekommen willst musst du die Zahl vor deinem x zusammenrechnen und damit beide zahlen vor deinem x bleichgroß ist erstmal beim ersten mal 5 und bei dem anderen mal 2. dann hast du in beiden Gleichungen 10 stehen.
Da du aber die beiden Gleichungen zusammenrechnest würdest du 10x plus 10x rechnen also 20x. aber du willst dein x loswerden nicht behalten also nimmst du eines der Gleichungen mal minus die zahl, indemfall hast du dich für die erste entschieden, hättest dich auch für die andere entscheiden können.
Also wenn du mal minus 5 Machst hast du bei dem einem minus 10x und bei dem andern 10x stehen, zusammen gerechnet sind es Null, also hast du kein x mehr
Das ist EIN Lösungsweg, nicht der einzige.
Wenn du dies so machst, wie du beschreibst, hast du:
I: -10x - 5y = -60
II: 10x + 2y = 36
Wenn du nun die Gleichungen addierst, fällt dir das x weg:
I + II -> -3y = -24
du schaust also, dass du vor einer der beiden Unbekannten den gleichen Faktor aber mit unterschiedlichem Vorzeichen erhältst, damit diese Unbekannte bei Addition wegfällt.
du könntest aber auch die 1. Gleichung mit 5 und die 2. mit -2 multiplizieren.
Es gibt noch andere Möglichkeiten, aber ich möchte dich nicht verwirren.
Die Idee beim Additionsverfahrn ist ja, daß eine der beiden Variablen herausfällt. Dazu müssen die Vorzeichen der Koeffizienten dieser Variablen verschieden sein. Du mußt die beiden Gleichungen also entweder mit −5 und +2 multiplizieren, oder umgekehrt mit +5 und −2. In beiden Fällen heben sich die beiden Terme mit x dann beim Addieren auf.
Das sind aber nicht die einzigen Möglicheiten, denn wir könnten ja auch das y den Heldentod sterben lassen. Das geht sogar einfacher als beim x:
2x + y = 12
5x + y = 18
Wir müssen also nur eine der beiden Gleichungen mit −1 multiplizieren und sie dann zur anderen addieren. Wenn wir das Vorzeichen der oberen umdrehen, erhalten wir sofort 3x=6 bzw. x=2 als Teil der Lösung.
Additionsverfahren:
Du musst das X aus der Gleichung rausbekommen. Rechnest du die obere Gleichung *(-5), bekommst du
-10X-5Y= (...)
Die zweite dann *2
10X+2Y=(...)
Dann addierst du die Gleichungen und bekommst Y raus. Den Wert setzt du ein und bekommst so X.