Warum hängt der Luftwiderstand quadratisch von der Geschwindigkeit ab?
Liegt es daran, dass sich mit doppelter Geschwindigkeit eines Körpers die Anzahl der Luftmoleküle, die abprallen, verdoppelt wird UND deren Aufprallgeschwindigkeit?
8 Antworten
Für die vereinfachte Formel mit konstantem CW Wert ist deine Überlegung richtig, durch die doppelte Geschwindigkeit ist der übertragene Impuls und damit die Kraft doppelt so groß, und , wie du schreibst, gelangen in gleicher Zeit doppelt so viele Luftmoleküle auf die Fläche, daher die quadratische Abhängigkeit.
Der Luftwiderstand ist sehr stark vereinfacht nichts anderes, als ein Objekt/Körper mit der Masse m_1, das auf ein anderes Objekt/Körper mit der Masse m_2 trifft.
m_1 hat eine kin. Energie:
E_1 = 0,5 * m_1 * v²
Kollidiert m_1 mit m_2 gibt es einen Teil seiner Energie an m_2 ab (Impuls).
p = m_x * v
->
E = p² / 2*m_x = m_x * v² / 2*m_x
m_1 >> m_2
E_2 = 0,5 * m_2 * v²
E_1 - E_2 = E_kin_rest
-- Ob ich stehe und der Ball fliegt mit 10 m/s an meinen Schädel, oder ob ich mit 10 m/s gegen den ruhenden Ball laufe, ist egal. --
Verdoppel ich nun meine Geschwindigkeit, nimmt auch die Energie, die ich habe und an m_2 abgebe zu:
E_1 - E_2 = 0,5 * m_1 * v_neu² - 0,5 * m_2 * v_neu² = E_kin_rest
0,5 sowie m_1 und m_2 bleiben konstant, was jedoch zunimmt, ist die Geschwindigkeit -und zwar quadratisch- folglich ist auch der Anteil an Energie, die ich an m_2 abgebe, quadratisch.
Das war der sehr ungenaue, aber einfache math. Teil.
Die "Anzahl" der Moleküle bleibt identisch, jedoch prallen sie eben mit doppelter Geschw. auf den Körper und entziehen mir mehr Energie. Zeitlich betrachtet jedoch: ja ich treffe auf doppelt so viele Moleküle in der gleichen Zeitdifferenz.
Somit ist dein Ansatz garnicht so verkehrt.
Resultat: Ich bremse ab, oder muss mehr Kraft aufwenden, um meine Geschw. zu halten.
Widerstand (Bremswiderstand) ist eine Form von Energie, und Energie ist Masse mal Geschwindigkeit zum Quadrat. Masse mal Geschwindigkeit ist Impuls. Aber dein Denkmodell finde ich gar nicht so verkehrt.
Nachlesen: Gesetz von Stokes
Das Gesetz dahinter lautet ja
https://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungswiderstand
F=c*A*ρ*v²/2
Die berechtigte Frage, warum v², also warum F ~ v²,
kommt vom hinteren Teil des Gesetzes:
Staudruck = ρ*v²/2
Die genauen Abläufe beim
https://de.wikipedia.org/wiki/Staudruck
sind extrem kompliziert! (engl. Wiki noch besser)
Es ist eine Summe aus zig Faktoren wie "mehr Auf- & Zusammenprälle", "mehr Verwirbelung", "seitliches Vorbeifliegen" und "Verwirbelungssog der Rückseite".
Die dahinterstehenden Gleichungen sind so kompliziert
( https://de.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes-Gleichungen usw.)
dass selbst Flugzeugwissenschaftler oft nur mit numerischer Integration rechnen.
Warum das alles wirklich so kompliziert ist und nicht einfach vernachlässigt werden kann, zeigt dieser Artikel zum Golfball:
http://www.golfbaelle.de/Geschenke-Logo-Physik_im_Golfsport-Der_Golfball.html
Dieser verkompliziert mit Einbuchtungen und Eigen-Drehung die Verwirbelung -> und damit die Reichweite.
In der Schule wird das alles vernachlässigt.
Beim Auto kommen noch Reibung & andere Effekte hinzu, so dass die Leistung zur Geschwindigkeit kubisch ansteigt: P ~ v³
Wenn ein Auto mit 125 PS 200 km/h fährt, braucht es für doppelte Geschwindigkeit (400 km/h) 2³=8 fache Leistung: 125 PS*8=1000 PS
siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Bugatti_Veyron_16.4
(1001 PS)
Hier der wichtige Satz vom 1. LINK:
"Für viele praktische Anwendungen ist die Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl vernachlässigbar. Dann wird der c_W-Wert als konstanter Wert angesetzt, so dass der Widerstand quadratisch mit der Geschwindigkeit zunimmt"
Also das, was Thor beschrieb.
Für Schüler reicht also die Näherung c * v² mit c=konst.
Für Wissenschaftler wird c zu einer Funktion c(v)
bzw. c= f(Re)
Das c(v)*v² kann man natürlich auch anders schreiben: f(v)
Eine Anmerkung zur kubischen Abhängigkeit der Leistung von der Geschwindigkeit : Diese hat nichts mit Zusatzeffekten zu tun, sondern folgt direkt aus P = v • F = v • konstant • v² = konstant • v³