Welche Formel für die Geschwindigkeit?
Und zwar geht es um einen Freien Fall mit Luftwiderstand. Welche Formel muss ich verwenden, um die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers zu berechnen. Kann ich einfach die Formel v=s:t nehmen?
6 Antworten
Und zwar geht es um einen Freien Fall mit Luftwiderstand.
Das ist genau genommen kein freier Fall mehr, wie auch eine gedämpfte Schwingung keine harmonische Schwingung ist.
Ein paar FormelzeichenWir nennen h die Höhe über dem Erdboden und nehmen an, dass der Körper von einem bestimmten Zeitpunkt an fällt, ohne schon eine vertikale Geschwindigkeit zu haben. Diesen Zeitpunkt setzen wir t=0.
Außerdem setzen wir h(0) ≪ R[Erde] voraus, sodass sich nach oben hin die Graviationsfeldstärke (=Fallbeschleunigung)
(1) |g› = g·(–|1r›) = 9,81m/s²·(–|1r›)
(–|1r› ist die Richtung zum Erdmittelpunkt hin) nicht ändert. Wenn Du die Fallstrecke s(t) benutzen willst, so ist diese
s(t) = h(0) – h(t) ⇔ h(t) = h(0) – s(t).
Die ist aber meist nicht gegeben, sondern muss erst aus g und v(t) berechnet werden. Das sollte die Frage
Kann ich einfach die Formel v=s:t nehmen?
klar beantworten: Natürlich nicht.
Freier FallDer freie Fall ist ein Fall allein unter dem Einfluss von |g›. Dann ist
(2.1) |v› = v·(–|1r›) = |g›·t = g·t·(–|1r›), also
(2.2) v = g·t.
In (2.2) könnten Beträge gemeint sein, oder v einzige Komponente des Vektors |v›, wobei die „Vorwärtsrichtung“ die nach unten ist. Im letzteren Fall wäre ein nach oben gerichtetes v negativ.
Die tritt hier aber nicht auf, und so müssen wir uns nicht mit dem Minuszeichen herumärgern.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt t₁ hat v also den Wert g·t₁ erreicht, aber wie groß ist s? Natürlich gibt es dazu eine fertige Formel 's=½at²', aber wir wollen verstehen und nicht eine Formel erst lernen und dann wieder vergessen, weil wir sie uns nicht merken können.
Ich habe das Ganze mal in einem Bild dargestellt, und zwar links für den Freien Fall. Wäre die ganze Zeit über v=g·t₁ gewesen, dann wäre die Fallstrecke
(3.1) v(t₁)·t₁ = g·t₁·t₁ = g·t₁²,
d.h., der Strecke entspräche dann die Fläche des Rechtecks zwischen v(t₁)-Graph (gestrichelt) und t-Achse. Da die Geschwindigkeit hingegen von 0 auf v(t₁) linear ansteigt, ist das jedoch nur die Hälfte, nämlich
(3.2) s = ½·v(t₁)·t₁ = ½·g·t₁².
Die Formel gilt natürlich nur is s(t)=h(0) (Aufprall).
Fall mit LuftwiderstandIn einem Kommentar hast Du den Luftwiderstand bzw. allgemeiner Strömungswiderstand als feste Größe von etwas mehr als 12N angegeben. Eine solche Kraft würde am Prinzip „lineare Zunahme der Geschwindigkeit“ nichts ändern, die Gerade wäre nur flacher.
Strömungswiderstand allerdings geschwindigkeitsabhängig. Sie hängt noch von diversen anderen Gegebenheiten ab, aber die Geschwindigkeit ist ausschlaggebend, wenn sonst alles gleich ist. Deshalb nimmt die Geschwindigkeit nicht linear zu, sondern die Kurve flacht ab, und es gibt eine Gleichgewichtsgeschwindigkeit v[eq], bei der die resultierende Kraft 0 wird.
Grundsätzlich unterscheidet man zwei Arten von Strömungswiderstand:
- Der Stokes'sche beruht auf laminarer Strömung und ist proportional zu v.
- Der Newton'sche hingegen beruht auf turbulenter Strömung und ist proportional zu v².
https://en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics)
ist ein Wikipedia-Artikel dazu in Englisch (die deutsche Version ist weniger ausführlich).
In beiden Fällen sorgt die Abhängigkeit des Strömungswiderstandes und damit der Beschleunigung von der Geschwindigkeit dafür, dass aus der simplen Gleichung (2.2) eine Differentialgleichung
(4.1) v̇ = g – ð·v (Stokes)
(4.2) v̇ = g – ĸ·v² (Newton)
wird, wobei ð und ĸ Konstanten sind, in denen alles drin steckt, was nicht v ist. Gleichung (4.1) passt eigentlich nur für kleine Geschwindigkeiten, und
(5.1) v = v[eq]·(1 – e^{–ð·ŧ)}, v[eq] = ((m – µ)/mð)·g,
wobei µ die Masse des verdrängten Fluids ist.
Gleichung (4.2) gilt auch ei größeren Geschwindigkeiten und lässt sich durch eine Funktion der Form
(5.2) v = v[eq]·tanh(√{g·ĸ}·t), v[eq] = √{g/ĸ}
lösen, wie Du es z.B. dem englischsprachigen Wikipedia-Artikel „Drag (physics)“ und dem deutschsprachigen Artikel über den Tangens Hyperbolicus und den Cotangens Hyperbolicus entnehmen kannst.
Um die Entwicklung von s und damit h zu berechnen, musst Du (5.1) und (5.2) weiter integrieren.
NEIN -
es gilt: a = summe aller Kräfte / m, mit a als die Beschleunigung der MAsse.
an Kräften haben wir: 1. die Gewichtskraft (m*g) und 2. die Kraft des Luftwiderstandes. Diese ist Fw = - 1/2 * rho* v^2 *A *cw, mir rho als Dichte der Luft, A = Querschnittfläche des Körpers, v = Geschwindigkeit und cw als den Luftwidertandsbeiwert.
Je nach Aufgabenstellung kann es etwas kompliziert werden.
Einfach ist es, wenn du nur die max. Geschwindigkeit berechnen willst. Das ist der Gleichgewichtszustand mit a=0. Für Zwischenwerte, z.B. "nach welcher Zeit erreicht der Körper xx m/s?" muss die Differentialgleichung gelöst werden.
k . . dann also mit konst Luftwiderstandskraft ... die hat man dann, wenn diese beispielweise schnell erreicht wird: ein fallendes Blatt segelt vom Baum und beschleunigt nicht mehr.
wir haben also: Luftkraft = -12,3 N (MINUS, weil gegen die Gewichtskraft
Gewichtskraft = 89kg*9,81m/s^2 = 873 N
Nun muss der Newton wieder ran:
Summe der Kräfte = m * a.
Summe der Kräfte = -12,3 + 873 = 860,7N
Daraus die stationäre Beschleunigung:
a = 860,7N/89kg = 9,67 m/s^2
.... nun kommst du sicher allein weiter.
Anmerkung: die von dir ermittelte Beschl. von 9,95 m/s^2 ist GRÖSSER als die Erdbeschleunigung....kann also nicht stimmen, denn der Luftwiderstand bremst ja! Fehler: du hast die Kräfte mit gleichem Vorzeichen addiert und den Widerstand nicht bremsen lassen
Nein!
Freier Fall im Vakuum ist eine beschleunigte Bewegung. In Luft kommt ein bremsender Effekt der Luft hinzu, der quadratisch von der Geschwindigkeit abhängt.
Kann man aber googeln.
Du mußt beachten, daß drei Kräfte im Gleichgewicht sind: Trägheitskraft, Gewicht und Luftwiderstand.
Die reicht nicht, du musst noch die fallbeschleunigung über die erdanziehungskraft berechnen
Ich hab gegeben Luftwiderstand=12,3 N , Gewichtskraft=873,09, Masse= 89 und komme auf die Beschleunigung a=9,95. und auf die Geschwindigkeit 94,5. bei einer Höhe von 87m und der Zeit 9,5 Sekunden. Ergibt das Sinn ? hoffe es ist verständlich