Warum gilt a^x = e^(x*ln a)?

Behauptung:

Es gilt:

a ^ x = e ^ ( x * ln ( a ) )

Beweis:

ln ( a ^ x )

= ln ( a * a * ... ( x - mal ) ... * a )  

= ln ( a ) + ln ( a ) + ... ( x - mal ) ... + ln ( a )

= x * ln ( a )

Es gilt also:

ln ( a ^ x ) = x * ln ( a )

und daraus folgt wegen der Bijektivität der Exponentialfunktion die Behauptung:

<=> e ^ ( ln ( a ^ x ) ) = e ^ ( x * ln ( a ) )

<=> a ^ x = e ^ ( x * ln ( a ) )

a^x = e^x*ln(a)

• 1. Schritt: auf beiden Seiten mit ln multiplizieren

ln(a^x) = ln(e^(x*ln(a)))

• 2. Schritt: Logarithmusgesetz beachten: Formel: ln(b^v) = v*ln(b)

x*ln(a) = (x*ln(a))*ln(e)

• 3. Schritt: ln(e) = 1, denn e hoch wieviel ist e? Antwort: 1

x*ln(a) = x*ln(a)*1

Ergebnis: x*ln(a) = x*ln(a)

Das liegt an den Potenzgesetzen und an der Definition des natürlichen Logarithmus.

ln(a) ist so definiert, dass e^ln(a) = a ist.

Allgemein gilt: b^(m*n) = (b^m)^n = (b^n)^m

Damit ist e^(x * ln(a)) = e^(ln(a) * x) = (e^ln(a))^x = a^x

Weil gilt: (a^b)^c = a^(b*c).

ln(x) ergibt das y, für das e^y=x ergibt.

Somit ist e^(x*ln(a)) = (e^ln(a))^x.

Hallo,

e, die Eulersche Zahl, ist die Basis des natürlichen Logarithmus, der gemeinhin mit ln bezeichnet wird. ln(a) ist die Zahl, mit der e potenziert werden muß, um a zu erhalten. Deshalb kannst Du a auch als e^ln(a) ausdrücken, genauso wie 100 10^log(100) ist. log(100) ist bekanntlich 2, 10^2 ist gleich 100. Wenn also a dasselbe ist wie e^ln(a), dann ist a^x dasselbe wie (e^ln(a))^x, was nach den Potenzgesetzen dasselbe ist wie e^(ln(a)*x).

(a^n)^m=a^(n*m).

Herzliche Grüße,

Willy