Warum führt ein Fadenpendel bei kleinen Auslenkwinkeln harmonische Schwingungen durch?
Und warum ist das bei größeren Auslenkwinkeln nicht mehr der Fall?
Kann mir das einer kurz erklären? Ich finde dazu im Internet gerade keine Begründung.
(Aufgabenstellung: Ein Fadenpendel führt mechanische Schwinungen aus. Weisen Sie theoretisch nach, dass solch ein Fadenpendel für kleine Auslenkwinkel harmonische Schwingungen ausführt. Erläutern Sie, warum dies bei großen Auslenkwinkeln nicht mehr der Fall ist. (Aus Abitur 2002 LK Physik Mecklenburg Vorpommern)
Danke schon mal für eure Hilfe.
3 Antworten
Das Schlagwort dafür lautet "Kleinwinkelnäherung". Im Bezug auf das Fadenpendel tritt der Begriff wahrscheinlich deswegen auf, weil für eine harmonische Schwingung das lineare Kraftgesetz gelten muss. Das gilt im Falle des Fadenpendels nur, wenn der sin(a) = a entspricht und das tut er nur, bei kleiner Auslenkung.
Wird die Auslenkung zu groß, kann man diese Annäherung nicht mehr annehmen, weil die Abweichung schlicht weg zu groß ist.
Nur für kleine Winkel kann der Sinus des Winkels durch den Winkel im Bogenmaß ersetzt werden. Bei einem Auslenkwinkel von 10° beträgt der Fehler 0,5%, bei einem Auslenkwinkel von 30°etwa 5,0% und bei einem Auslenkwinkel von 45° schon 10,0%. Das Fadenpendel schwingt daher nur für kleine Auslenkwinkel harmonisch.
harmonische Schwingungen sind dadurch definiert, dass die zweite Ableitung der Auslenkung proportional zur Auslenkung ist,
x'' = -cx
Beim Fadenpendel ist aber x'' = -csinx, und nur für kleine Winkel ist sinx annähernd gleich x.