Wann kann man eine Betragsungleichung quadrieren um sie zu lösen?
Hallo,
Man kann Betragsungleichungen z.B. |2x+6| > |4x| durch quadrieren lösen.
Ich habe nun aber gehört, dass diese Methode des Quadrieren nicht immer funktioniert. Von was ist das abhängig?
Danke für eure Antworten!
3 Antworten
Wie genau das mit Quadrieren laufen soll, kann ich dir jetzt auch nicht sagen. Am Besten schaust du, welche Beträge für welches x 0 werden und passt das dann entsprechend an. Ist der Betrag positiv, kannst du ihn einfach weglassen. Ist er negativ, lässt du ihn weg, musst aber das Vorzeichen ändern.
Der linke Betrag ist für x=-3, der rechte für x=0 jeweils 0.
Für x<-3 sind also beide Beträge negativ, d.h.
-(2x+6) > -4x
Für x>0 sind also beide Beträge positiv, d.h.
2x+6 > 4x
In beiden Fällen also x<3
Für -3 < x < 0 ist der linke positiv und der rechte negativ, d.h.
2x+6 > -4x ----> 6x > -6 ----> x>-1
Die Lösung ist also -1 < x < 3.
Durch das Quadrieren bekommst du eine ungültige Lösung dazu. Betragsungleichungen löst du am besten wie folgt auf, an Hand deines Beispiels:
Also zunähst mal lasst du auf einer Seite der Gleichung die Betragszeichen weg. Som8it hast du:
|4x| < 2x+6
Jetzt lässt du auch links die Betragszeichen weg und löst nach x auf. Du erhältst damit x_1<3
Im nächsten Schritt löst du dann
-4x < 2x+6 und löst nach x auf. Damit erhältst du
x_2 > -1
Quadrieren ist dann okay, wenn beide Seiten der Ungleichung positiv sind.
Das ist also auch dann der Fall, wenn auf beiden Seiten Betragsstriche stehen.