Wandstärke Hohlkugel berechnen?
Die Aufgabe lautet:
Eine Boje soll aus Stahlblech zu einer Hohlkugel geformt werden. Die Dichte beträgt 7,8 g/cm³ und der Innendurchmesser 40cm. Sie soll 30 cm in das Wasser eintauchen. Die Frage lautet: Welche Wandstärke muss gewählt werden?
Ich weiß wir müssen das Volumen berechnen, welches in das Wasser eintaucht. Und dann die Masse.
Ist das richtig? Wie muss ich weiter rechnen?
2 Antworten
Hallo,
was passiert, wenn die Hohlkugel ins Wasser getaucht wird?
Sie verdrängt Wasser - und zwar soviel Wasser, wie es ihrem eigenen Gewicht entspricht.
Wenn ich eine Masse von 100 kg ins Wasser tauche, verdrängt sie 100 kg gleich 100 Liter Wasser.
Sofern der Gegenstand ein größeres Volumen als 100 Liter besitzt, tauchen genau diese 100 Liter ins Wasser ein, der Rest schwimmt obenauf.
Die Kugel nun soll nicht ganz ins Wasser tauchen, sondern nur 0,3 m tief.
Im Wasser schwimmt also nur eine Kugelkalotte, die soviel Liter an Wasser verdrängt, wie es dem Gewicht der ganzen Kugel entspricht.
Du brauchst also das Volumen der Kalotte.
Das berechnet sich nach der Formel:
V=(1/3)π*h²*(3R-h), wobei R der noch unbekannte Radius der Hohlkugel ist und h die Eintauchtiefe, also 0,3 m.
Die ganze Kugel muß so schwer sein wie das Wasser, das von dieser Kalotte verdrängt wird.
Das Gewicht einer Hohlkugel ist das Volumen ihrer Wand multipliziert mit ihrer Dichte, hier: 7,8. Das Volumen ist äußerer Durchmesser mit Radius R minus innerer Durchmesser mit Radius 0,2 m, also (4/3)π*(R³-0,2³), das Gewicht also
7,8*(4/3)π*(R³-0,2³)
Du hast also eine Gleichung mit einer Unbekannten:
(1/3)π*0,3²*(3R-0,3)=7,8*(4/3)π*(R³-0,2³), wobei Du π auf beiden Seiten streichen kannst, denn es taucht in jedem Term als Faktor auf.
Die Gleichung führt zu einem Polynom 3. Grades mit einer reellen und zwei komplexen Lösungen.
Zur Kontrolle:
Die reelle Lösung lautet R=0,2074677711 m, was abzüglich des Innenradius von 0,2 m eine Wandstärke von etwa 7,5 mm ergibt.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn die Boje im Salzwasser eingesetzt wird, mußt Du noch das höhere spezifische Gewicht des Salzwassers berücksichtigen, was zu einer etwas größeren Wandstärke führen würde. Davon steht aber in der Aufgabe nichts.
Ich bin von der Dichte von Süßwasser, also 1, ausgegangen.
Zunächst vielen Dank für den Stern.
Kann sein, daß Du Dich verrechnet hast. Mit meiner Lösung ging die Gleichung nämlich auf, mit Deiner dagegen nicht.
Multipliziere alles aus und faß Gleichartiges zusammen.
Die so erhaltene Gleichung dritten Grades, die kein quadratisches Glied besitzt, löst Du am besten mit Hilfe eines Rechners, der dann meine Lösung und zwei komplexe Lösungen ausspuckt.
Du kommst auf die Gleichung 10,4*R^3-0,09*R-0,0,742=0
Wenn Du die über einen Rechner löst, denk daran, 0*R^2 einzugeben.
formel anwenden
Ich habe bei diesem Lösungsweg drei Ergebnisse:
R1= -0.25
R2= -0.0186
R3= 0.2686
R1 und R2 können es ja nicht sein, da der Radius nicht negativ sein kann. Daher muss es R3 sein?
Und das dann noch - 0,2m rechnen. Dann bekomme ich etwa 0,0686m raus.