Frage von ignotoConsortoBusiness Profil - Light, 28

Wanddicke einer Hohlkugel berechnen?

Eine eiserne Hohlkugel mit dem Außendurchmesser d=12cm sinkt bis zur Hälfte in Wasser ein. Wie dick ist die Wand? (Dichte eisen: 7,9 g/cm³)

Die Frage hab ich schon in anderen Foren gesucht, da aber keine wirklich verständlichen Lösungswege gefunden. bitte nicht einfach nur links.

Antwort
von gfntom, 17

Der Auftrieb eines Körpers entspricht der Gewichtskraft des verdrängten Mediums.

Die Eisenkugel ist also so schwer, wie das Wasser, das durch die Halbkugel verdrängt wird.

Damit kannst du die Masse der Eisenkugel ermitteln und damit in Folge die Wandstärke.

Antwort
von dersmue, 13

Da die Kugel bis zur Mitte einsinkt, wiegt sie soviel wie das Volumen der Halbkugel an Wasser (archimed. Prinzip)

V = 4/3 * pi * r ³

Volumen der Halbkugel (in ccm) =  2 / 3 * pi * 6 ³  = 452,4

452 ccm Wasser wiegen ca. 452 g. Das Gewicht der Kugel ist also 452 g

Über die Dichte bekommst du das Volumen an Eisen, das in der Kugel verarbeitet ist 452 / 7,9 = 57,2 ccm

Die Oberfläche der Kugel sagt dir wieder Wikipedia A = 4 * pi * r² = 452 cm²

Fläche mal Dicke ergibt Volumen, also Dicke = Volumen durch Fläche = 0,12 cm

Die Zahlen sind gerundet, mit Taschenrechner bekommst Du beliebig genaue Werte. Dichte von Wasser wurde mit 1 g/ccm angenommen.

Im Mathestudium musst du wahrscheinlich noch berücksichtigen, dass die Kugelfläche auf der Innenseite der Metallschicht kleiner ist als aussen, aber für die Schule sollte das reichen.

Tipp: arbeite solange wie möglich ohne TR, sondern mit den Formeln. Ich habe das Gefühl, dass sich da ziemlich viel rauskürzt.

Antwort
von Marsbrudi, 14

Wow anspruchsvoll, du müsstest für die aufgabe den auftrieb von luft nutzen um schließlich zu berechnen wie dick die wand ist damit genug luft in der kugel ist damit diese das Gewicht des Holkörpers so kompensiert damit diese durch den auftrieb nur zur hälfte im wasser einsinkt.

Antwort
von Peterwefer, 11

Nun, V = 4/3 * pi * r*r

Die Kugel hat einen Radius von 6 cm. Nehmen wir an, die Wand ist 1 mm dick, dann beträgt das Volumen der Kugel

v = 4/3*pi*r³-4/3*pi*(r-ß,1)³


Antwort
von LeCux, 18

Durch die Verdrängung weisst du das Gewicht der Kugel, da Wassser eine Dichte von 1g/cm2 hat.

Das Volumen der Kugel kannst Du dir aussrechnen, davon die Hälfte.

Damit hast Du das Gewicht des Eisens und kannst damit das Volumen davon berechnen.

Mit der Formel für das Volumen einer Kugel 4/3*Pi*r^3 kannst du auch das Volumen einer Kugelschale bekommen:

4/3*Pi*r1^3 - 4/3*Pi*r2^3 = V

Das kann man ausklammern:

4/3*Pi*(r1^3 -r2^3) = V

Du kennst ja r1=12cm, das Volumen V des Eisens.

Eine Gleichung mit einer Unbekannten, das ist schaffbar.

Antwort
von slutangel22, 14

Der Clou ist ja, dass jeder Gegenstand genau so viel Wasser verdrängt, wie es seiner Masse enspricht; also: Ein 70kg schweres Paddelboot verdrängt 70kg Wasser.

Okay, also wie viel Wasser verdrängt jetzt Hohli, die Hohlkugel?

0.5 *  4/3 × π × r³ = 0.5 *  4/3 × π × (12cm/2)³

Okay, wieviel macht das jetzt also in Kilogramm? Bei Wasser easy, weil 1 Liter genau 1 Kilogramm wiegt.

Nice, jetzt wissen wir, wie schwer der Kollege ist. Jetzt Wanddicke; die nennen wir mal `a`. Welches Volumen hat denn so eine Kugel mit Außendurchmesser `d` und Wanddicke `a`?

V = 4/3 × π × (d/2)³ - 4/3 × π × (d/2 - a)³

Logisch. Und wieviel macht das in Kilogramm?

m = V * Dichte

Läuft. Das jetzt einfach nach a umstellen. => Zackbumm fertig.

Kommentar von ignotoConsorto ,

das volumen, dass man dann zuletzt berechnet ist aber das des hohlraums, das ist aber unbekannt => beim durchrechnen bekomme ich als ergebnis was negatives

Kommentar von slutangel22 ,

Na, das Volumen V wird ja nie explizit berechnet.

Man setzt in

 m = V * (Dichte von Eisen)

ja einfach

m = 1/2 *  4/3 × π × (d/2)³ * (Dichte von Wasser)

und

V = 4/3 × π × (d/2)³ - 4/3 × π × (d/2 - a)³

und stellt dann nach a um, also

1/2 *  4/3 × π × (d/2)³ * (Dichte von Wasser) = (4/3 × π × (d/2)³ - 4/3 × π × (d/2 - a)³) * (Dichte von Eisen)

1/2 × (d/2)³ * (Dichte von Wasser) = ((d/2)³ - (d/2 - a)³) * (Dichte von Eisen)

usw. Der Wert von `a` ist dann positiv.

Antwort
von Broody, 6

Ich hab zum Thema Auftrieb ein Video-Reihe, die sich mit dem Auftrieb beschäftigt - was ja ein Teil der Aufgabe selber ist -, auf Youtube gesucht und gefunden, da ich deine Frage äußerst interessant finde und selber recherchieren wollte, wie man darauf kommt; Ansätze findet ja man bei anderen Antworten. 

Ich hoffe, es ist auch für dich interessant.

Das erste Video handelt vom "Hydrostatischem Druck", also dem Druck, der unter Wasser herrscht:

Kommentar von Broody ,

So dann will ich mein Kenntnisstand auch Mal dazu beitragen, nachdem ich die Reihe gesehen hatte.

Gegeben sind:

Auftriebskraft F_A , Gewichtskraft F_G ,
Fläche der Kugel A = 4 pi r²,
Dichte der Kugel roh = 7,9 g/cm³,
Radius der Kugel r = d/2 = 6cm, (d=12 cm,)
Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s²

die konkreten Verhältnisse kann man sich aus der Videoreihe entnehmen.
Sollte irgendwas falsch sein, so bitte ich mich zur korrigieren, da ich, wie schon eben erwähnt, mich auch nur auf das Video stützen kann.

Die Gewichtskraft ist nur die hälfte, da die Kugel zur hälfte schwimmt bzw "schwebt", um ein Gleichgewicht zwischen der Auftriebskraft und Gewichtskraft erzeugt, also

F_A= 1/2 F_G = 1/2 A rho r g = 1/2 (1/2 4 pi r²) rho r g

A muss vorher noch halbiert wird, da nur die hälfte der Kugel auch unterwasser ist

= 1/2 (1/2 4 pi r²) rho r g
= pi r³ rho g

F_A = 3,1415... (6cm)³ 7,9g/cm³ 9,81 m/s²

nach kurzen der Einheit [cm³] kommen wir auf eine Auftriebskraft F_A mit

F_A = 52,588 kg/s² = 52,588 N

Um die Masse und damit letztendlich die Dicke der Kugel auszurechnen, muss man

F_G = m g

anwenden und umstellen

m = F_G/g
= 52,588 kg m/s² : 9,81 m/s³
= 5,360 kg




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