Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Würfelwurf mit mehreren Würfeln?
Hallo Zusammen,
grundsätzlich habe ich ein gutes Mathematisches Verständnis, aber hier stehe ich gerade auf dem Schlauch bzw. bin schon zu lange raus.
Um bei einem Pen&Paper Rollenspiel den "Schwierigkeitsgrad" einer Würfelprobe zu ermitteln, muss ich für die Wahrscheinlichkeit folgender Würfelprobe ermitteln:
- gewürfelt werden 3 gleichseitige Würfel gleichzeitig
- jeder Würfel hat 20 Seiten mit dem Werten von 1 - 20
- nach dem Würfelwurf wird sowohl der höchste, als auch der niedrigste Wert "aussortiert" und nur der mittlere gewürfelte Wert wird genutzt. Bei gleichen Werten wird nur ein Würfel aussortiert. (Beispiele: Es wurde 7/12/16 gewürfelt, dann zählt die 12. Es wurde 11/11/14 gewürfelt, dann zählt die 11)
Zur Frage:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf nach den oben genannten Voraussetzungen, einen gewertetes mittleres Würfelergebnis zu erzielen, mit einem Wert von...
- ... genau 12
- ... mindestens 12
Vielen Dank im Voraus!
Tobias
1 Antwort
Also zunächst würde ich die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass der Mittlere Würfel kleiner oder gleich die Zahl n ist. Das ist der Fall wenn alle oder zwei Würfel kleiner oder gleich n ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Würfel kleiner oder gleich n ist (mit 1<=n<=20) ist n/20.
Mit der Binomialverteilung ist somit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Würfel kleiner als n sind:
P(X<=n)
=(3 über 2) * (n/20)^2 * ((20-n)/20) + (3 über 3) * (n/20)^3
= 3* (n/20)^2 * ((20-n)/20) + (n/20)^3
(X ist die Zufallsvariable, die beschreibt, welchen Wert der Mittlere würfel hat)
Somit bekommst du:
P(X=12) = P(X<=12) - P(X<= 11)
P(X>=12) = 1-P(X<=11)
Da
P(X<=11) ≈ 0.5748
P(X<=12) = 0.648
Ist somit
P(X=12) ≈0.0732
P(X>=12) ≈ 0.4252
(Das ist auch der übliche Ansatz um die Verteilung der Ordnungsstatistik zu bekommen)
Aber du hast eine falsche Annahme getroffen, da du auch ein gültiges Ergebnis unterstellst, wenn alle Würfel kleiner oder gleich n wären.
Nein, das ist da drin. Der erste summand
(3 über 2) * (n/20)^2 * ((20-n)/20)
Ist für das Ereignis, dass genau zwei Würfel kleiner oder gleich n sind und der dritte größer als n ist und der zweite summand
(n/20)^3
Ist für das Ereignis dass alle drei Würfel kleiner gleich n sind.
Außerdem verstehe ich die Formel nicht ganz... Wieso rechne ich dir Wahrscheinlichkeit ^2. Mit wäre eine Erklärung zur Formel ganz lieb, bitte aber eher sachlich und nicht zu mathematisch-theoretisch, da meine guten Mathekenntnisse auf Abitur - Leistungskurs und nicht auf Studienniveau sind.
Das ist Die Binomialverteilung mit 3 Stufen (da drei Würfel) und Erfolgswahrscheinlichkeit n/20, da du wissen willst wie viele der drei Würfel kleiner gleich n sind. Das Quadrat (bzw das hoch 3) ist da einfach, weil du zwei (bzw 3) "Erfolge" haben willst
Hallo Jangler13,
Vielen Dank für die Erklärung!
Könntest du die Formel auch umstellen, sodass ich ermitteln kann, welches Würfelergebnis mit mindestens 70% Wahrscheinlichkeit erzielt wird?
Danke im Voraus!
Hallo Jangler13,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Aber du hast eine falsche Annahme getroffen, da du auch ein gültiges Ergebnis unterstellst, wenn alle Würfel kleiner oder gleich n wären.
Das Würfelergebnis 11/11/12 führt aber dazu, dass die 11 gewertet wird, da die höchste Zahl (12) und die niedrigste (eine der beiden 11) verworfen werden.
Habe ich nur deine Formulierung falsch verstanden oder muss die Formel angepasst werden?
Außerdem verstehe ich die Formel nicht ganz... Wieso rechne ich dir Wahrscheinlichkeit ^2. Mit wäre eine Erklärung zur Formel ganz lieb, bitte aber eher sachlich und nicht zu mathematisch-theoretisch, da meine guten Mathekenntnisse auf Abitur - Leistungskurs und nicht auf Studienniveau sind.
Danke!