Wahrscheinlichkeit?
Für drei Ereignisse A1, A2, A3 ⊂ Ω seien die Wahrscheinlichkeiten P(Ai ∩ Aj ), 1 ≤ i < j ≤ 3 sowie P(A1 ∩ A2 ∩ A3) bekannt.
Ich soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei der drei Ereignisse eintreten, in diesen Wahrscheinlichkeiten ausdrücken.
Kann mir jemand helfen?
3 Antworten
Also, das Ereignis, das mindesten 2 von 3 der Ereignisse zutrifft ist gleich:
(A1 ∩ A2) ∪ (A2 ∩ A3) ∪ (A1 ∩ A3) ∪ (A1 ∩ A2 ∩ A3)
(A1 ∩ A2 ∩ A3) ist aber eine Teilmenge von (A1 ∩ A2), weswegen der Ausdruck gleich
(A1 ∩ A2) ∪ (A2 ∩ A3) ∪ (A1 ∩ A3)
Ist.
Nutze nun die Siebformel (siehe Unterpunkt Anwendung, da ist sogar die Formel für 3 Mengen ausgeschrieben) um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.
Ja klar. Was ist die Wahrscheinlichkeit von A1 n A2 zb nochmal?
P(A1 geschnitten A2), das reicht aus. Du musst die Wahrscheinlichkeit des Gesamten Ereignisses als Ausdruck aufschreiben, der nur die Wahrscheinlichkeiten enthält, die bekannt sind (in der Aufgabe steht ja was bekannt ist). Du wirst also keine Zahl als Ergebnis bekommen.
Ich versteh nur nicht genau, was ich wo einsetzen muss
Also brauch ich P(A1nA2) P(A1nA3) P(A2nA3) und dann alle 3 miteinander geschnitten?
Nein.
Das Ergebnis ist KEINE Zahl. Sondern ein Ausdruck, der die Terme P(A1 geschnitten A2) usw enthält.
Du brauchst ein Ergebnis in dieser Form:
P(mindestens 2 Ereignisse treffen ein) = P(A1 und A2) + 5P(A2 und A3) - P(A3 und A1) + P(A1 und A2 und A3)
(Das ist natürlich falsch was da steht, es muss aber diese Struktur haben, das Ergebnis muss am Ende nur die bekannten Wahrscheinlichkeiten enthalten)
Es ist hier NICHT möglich, den Ereignissen konkrete Zahlen zuzuordnen, da in der Aufgabe keine Informationen dazu stehen.
Jap den Teil hab ich verstanden, aber wie sieht das dann am Ende aus?
Ja aber ich soll doch nicht nur die Formel von Sylvester aufschreiben?
Aber wie denn anwenden? Ich habe jetzt A1 ∩ A2 in A usw eingesetzt, aber was mache ich jetzt weiter?
P(A u B u C)=P(A1 n A2)+P(A2 n A3)+P(A1 n A3)-P((A1 n A2) n (A2 n A3))-P((A1 n A2) n (A1 n A3))-P((A2 n A3) n (A1 n A3)) +P((A1 n A2)n(A2 n A3)n(A1 n A3))
P(A1 n A2)+P(A2 n A3)+P(A1 n A3) das dann zb zsmfassen oder wie?
Ja ich weiß nicht genau wie es geht. Kannst du es mir sagen?
Kannst du mir vlt Schritt für Schritt sagen bei welchen mengen? Finde das etwas unübersichtlich alles
P(A1 n A2 n A3)+P(A1 n A3)-P((A1 n A2 n A3))-P((A1 n A2 n A3))-P((A2 n A3 n A1) +P(A1 n A2 n A3) so?
P(A1 n A2)+P(A2 n A3)+P(A1 n A3)-P((A1 n A2 n A3))-P((A1 n A2 n A3))-P((A2 n A3 n A1) +P((A1 n A2 n A3)) so?
P(A1 n A2)+P(A2 n A3)+P(A1 n A3)-3P((A1 n A2 n A3)) +P((A1 n A2 n A3)) so? Oder kann man die ersten 3 zu dem letzten zsmfassen und dort eine 2 davor schreiben?
Aber die ersten 3 terme werden doch zu dem letzten dazu addiert? Also dann doch eine 2 oder?
ich weiß und die fassen wir doch zu dem letzten zusammen oder nicht
Das Ergebnis ist P(A1 n A2)+P(A2 n A3)+P(A1 n A3)-2P(A1 n A2 n A3)
Prinzipiell kann dir schon jemand helfen - aber ich persönlich zumindest helfe nicht gerne, bevor ich sehe, dass du dich selbst tatsächlich mit der Aufgabe beschäftigt hast. Da du leider keine eigenen Ansätze formuliert hast, stelle ich einfach mal konkrete Fragen:
Wie würdest du das Ereignis, dass die beiden Ereignisse A1 und A2 eintreten mengentheoretisch darstellen? Und was ist die Wahrscheinlichkeit davon?
Wenn du das geschafft hast: Das Ereignis, dass A1 und A2 eintreten, ist ja offensichtlich eine Möglichkeit dafür, dass mindestens 2 der 3 Ereignisse eintreten. Kannst du weitere solcher Möglichkeiten finden? Was haben die für Wahrscheinlichkeiten?
(A1 ∩ A2) ∪ (A2 ∩ A3) ∪ (A1 ∩ A3)
Ist die Wahrscheinlichkeit, dass A1 eintritt dann 1/3?
(A1 ∩ A2) ∪ (A2 ∩ A3) ∪ (A1 ∩ A3)
Soweit so gut. Sei jetzt X := (A1 ∩ A2) und Y := (A2 ∩ A3). Als ersten kleinen Zwischenschritt wollen wir
P(X ∪ Y) ausrechnen. Fällt dir dafür eine Formel ein?
Ist die Wahrscheinlichkeit, dass A1 eintritt dann 1/3?
Im allgemeinen nein, wie kommst du darauf?
Im Allgemeinen nicht, nein. In der Aufgabe steht nur, dass P(A1 ∩ A2) bekannt ist. Das könnte 1/9 sein, das könnte auch 1/5, 0 oder 1 sein. Für die Aufgabe ist es egal, welche Zahl genau das ist.
Dann bin ich etwas verwirrt, was ich noch machen soll außer das ganze in die Formel einsetzen
Du sollst herausfinden, wie man die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der 3 Ereignisse eintritt, berechnet, wenn man die in der Aufgabe angegebenen Wahrscheinlichkeiten kennt.
Um mal eine strukturell einfachere Aufgabe zu stellen:
Es sei die Geschwindigkeit v eines Autos bekannt (in km/h). Wie viele Kilometer legt das Auto in t Stunden zurück?
Antwort: Die zurückgelegte Strecke s des Autos (in km) nach t Stunden beträgt:
s = v * t.
Und ebenso wie ich s mithilfe von v und t ausdrücken kann, ohne eine konkrete Zahl für v oder t zu kennen, sollst du diese Wahrscheinlichkeit eben mithilfe von P(A1 ∩ A2), P(A1∩A3), P(A2∩A3) und P(A1∩A2∩A3) ausdrücken.
In der Mathematik interessiert man sich eher selten für konkrete Zahlen, daran musst du dich gewöhnen ;)
Ich fürchte, wenn du dir nicht die Mühe machst, dir die Finger mit Einsetzen in Formeln schmutzig zu machen, wird das spätestens mit der Prüfung schwierig ;)
Du schuldest mir immer noch eine Antwort auf die Frage:
Was ist P(X ∪ Y)?
Der erste Schritt ist "mindestens zwei der drei Ereignisse treten ein" richtig aufzuschreiben und mit den Wahrscheinlichkeitsgesetzen so umzutransformieren, dass Du am Ende eine Gleichung hast, die nur aus P(A1 & A2), P(A1 & A3), P(A2 & A3) und P(alle drei) besteht
falls Du verstehst was ich meine
ah geht doch =)
nächster Tipp: die Ereignismenge (A1 ∩ A2 ∩ A3) ist in allen drei Schnittmengen zweier Ereignisse enthalten, hast Du also 4 mal gezählt.
Das ist nicht falsch, weil alles zusammen immer noch das Richtige ergibt, aber du kommst weiter indem Du statt (A1 ∩ A2) schreibst (A1 ∩ A2 ∩ nichtA3) und so weiter.
Auf die Weise kriegst du 4 disjunkte Mengen, die jeweils oder verknüpft sind und dann gilt, dass P(A oder B) für A und B disjunkt ist P(A) + P(B)
Danke! Aber muss ich die Formel umformen oder ist die so richtig?