Vollständige Induktion zu 1² + 2² +3² + ... + n² = 1/6 • n(n+1)(2n+1)?

Hey Leute,

Ich verzweifle gerade. Hab die folgende Aufgabe als Hausaufgabe und komme nicht gut zurecht. Könntet ihr mir bitte bei

1² + 2² +3² + ... + n² = 1/6 •n(n+1)(2n+1)

helfen? Am liebsten mit Erklärung. DANKE

Answer 1

[evtldocha]

Der entscheidende Punkt im Induktionsschritt ist:

$2n^2+7n+6\ =\ \left(2n+3\right)\cdot\left(n+2\right)=\left(2\left(n+1\right)+1\right)\cdot\left(\left(n+1\right)+1\right)$

$\sum_{i=1}^{n+1}i^2=\sum_{i=1}^ni^2+\left(n+1\right)^2=^{\left(IV\right)}\frac{1}{6}n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)+\left(n+1\right)^2=$ $\frac{1}{6}\left(n+1\right)\left[n\cdot\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)\right]\ =$ $\frac{1}{6}\left(n+1\right)\cdot\left[2n^2+7n+6\right]$

Und ab hier dann die einleitende Bemerkung.