Frage von Eddy797, 56

Unterschied zwischen der qE (quadratischen Ergänzung) und der PQ- Formel?

Kann man Aufgaben auch mit der PQ-Formel lösen, anstatt die qE zu verwenden? Wo ist der Unterschied? Ich habe bald meine Prüfungen, allerdings kann ich mich nicht erinnern die qE jemals verwendet zu haben :/

Danke

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 33

Hallo,

die pq-Formel leitet sich aus der quadratischen Ergänzung ab.

Während Du die quadratische Ergänzung bei allen Funktionen der Form 
f(x)=ax²+bx+c nutzen kannst, funktioniert die pq-Formel nur, wenn vor dem x² kein anderer Faktor als eine 1 steht, die in der Regel nicht hingeschrieben wird. Ansonsten mußt Du alles durch diesen Faktor teilen, also aus 
f(x)=ax²+bx+c ein f(x)=x²+(b/a)x+c/a machen, wobei b/a dann p und c/a q genannt wird.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von claushilbig, 22

Wie hat man wohl die p-q-Formel gefunden?

In dem man einfach die allgemeine Gleichung der Form x² + px + q = 0 (also ohne konkrete Zahlen, sondern mit den Variablen) per quadratischer Ergänzung gelöst hat. (löst man ein allgemeine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 per q. E., erhält man die "Mitternachtsformel")

Also. wenn Du mit der p-q-Formel arbeitest, verwendest Du im Grunde "im Hintergrund" zugleich die quadratische Ergänzung.

Du kannst also jede quadratische Gleichung sowohl mit der quadratischen Ergänzung als auch mit der p-q-Formel lösen - nur musst Du bei der p-q-Formel darauf achten, dass die Gleichung "normiert" ist, also von dem x² keine Zahl (bzw. eine 1) steht. Das lässt sich aber immer leicht erreichen, indem man ggf. die ganze Gleichung durch die Zahl vor dem x² teilt - dann werden p und q vielleicht "unschöne Brüche", aber die 0 bleibt 0, denn "0 durch irgendwas" ist immer 0.

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In Schul-Unterricht lernt man üblicherweise zuerst die q. E., leitet daraus dann (wie gerade genannt) die p-q-Formel ab und verwendet danach meist nur noch die p-q-Formel.

Ich könnte mit vorstellen, dass man im Zuge der Straffung der Lehrpläne (von G9 auf G8) inzwischen auf die Herleitung und die q. E. komplett verzichtet (oder sie zumindest sehr kurz fasst). Das würde ich aber für "didaktisch unglücklich" halten, weil die q. E. ein wunderbares Beispiel für die Einführung eines wichtigen mathematischen "Tricks" ist, den man später (z. B. in diversen Beweisen) immer wieder braucht: die "Addition einer produktiven Null".

Antwort
von BiggerMama, 16

Die PQ-Formel ist stures Auswendiglernen.  Du wendest die Formel an, ohne auch nur die geringste Ahnung zu haben, warum Du nun ausgerechnet mit Teilen, Quadrieren, Abziehen, und Wurzelziehen ,... eine Nullstelle berechnen kannst.

Die quadratische Ergänzung ist die eigentliche logische Erklärung für die PQ-Formel.

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