Trigonometrie Aufgabe - bitte um Antwort bzw. Erklärung?
Hängesessel können mit einer Feder an der Decke befestigt werden. Ein Sessel wird nach unten gezogen, sodass er sich 40 cm über dem Boden befindet. Lässt man ihn los, so erreicht der Sessel nach 0,35 Sekunden eine maximale Höhe von 50 cm. Gib die Funktionsgleichung an, die jedem Zeitpunkt (in s) die Höhe über dem Boden (in cm) zuordnet, in der sich der Sessel gerade befindet.
Laut Lösungsbuch - Ergebnis: h(t)=5cm*sin(20*π/7*t-π/2)+45cm
Leider habe ich keine Ahnung wie ich darauf kommen soll?
Danke schon mal
2 Antworten
Allgemeiner Anzatz ist h(t) = a * sin(b*t + c) + d
Der Sessel schwingt von 40 cm bis 50 cm, also um den Mittelwert d = 45 cm mit einer Amplitude a = 5 cm.
h(t) = (5 cm) * sin(b*t + c) + (45 cm)
b ist die (Kreis-)Frequenz, c eine zeitliche Verschiebung (Phasenlage).
Für t = 0 ist der Sessel ganz unten, also sin(b*0 + c) = -1.
Daraus folgt c = -pi/2. (Man kann auch Vielfache von 2*pi addieren oder subtrahieren.)
Für t = 0.35 s ist der Sessel ganz oben, also sin(b*t + c) = +1.
Daraus folgt b*t + c = pi/2, also b*t = pi.
Nun ist t = 0.35 s = 35/100 s = 7/20 s.
b * (7/20 s) = pi
b = pi * 20/7 * 1/s
zusammengefasst:
h(t) = 5 cm * sin(20/7 * pi * t/s - pi/2) + 45cm
h(t) = 5 cm * sin(20/7 * pi * t/s - pi/2) + 45cm
Ich nenne 20/7 * pi * t/s - pi/2 = x
Da wir näherungsweise rechnen müssen:
x = 8,976 * t/s - 1,571
5 cm * sin(x) + 45cm > 48 cm
5 cm * sin(x) > 3 cm
sin(x) > 0,8
Nun ist arcsin(0,8) = 0,927 (entspricht 59°)
und pi - 0,927 = 2,214 (entspricht 180° - 59° = 121°).
0,927 < x < 2,214
(am besten einen Einheitskreis oder eine Sinuskurve aufzeichnen, um zu verstehen, warum das so ist)
0,927 < 8,976 * t/s - 1,571 < 2,214
Wir suchen eine Zeitdifferenz dt
8,976 * dt/s = 2,214 - 0,927
dt = 0,14 s
Um diese Aufgabe zu lösen, musst du zunächst verstehen, dass die Bewegung des Sessels eine Schwingung darstellt. Dies bedeutet, dass die Höhe des Sessels sich periodisch zwischen einem Minimum und Maximum bewegt.
In diesem Fall beginnt der Sessel 40 cm über dem Boden und erreicht eine maximale Höhe von 50 cm. Das bedeutet, dass die Schwingung eine Amplitude von 10 cm hat. Da es sich um eine Schwingung handelt, können wir eine Sinusfunktion verwenden, um die Höhe über der Zeit darzustellen.
Die Sinusfunktion hat die Form f(x) = A * sin(ωt + φ)
A ist die Amplitude, w is die Kreisfrequenz (w = 2π/T) und φ ist die Phasenverschiebung.
In diesem Fall ist die Amplitude A = 10 cm, die Zeit T = 0.35s und die Phasenverschiebung φ = π/2
Ein substituieren der Werte ins Gleichung ergibt :
h(t)=10cmsin(20πt/0.35+ π/2)+40cm
Um die Funktionsgleichung zu finden, die die Höhe des Hängesessels über dem Boden in Abhängigkeit von der Zeit angibt, wenden wir die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus an.
Da der Sessel eine Schwingung beschreibt, die periodisch und harmonisch ist, können wir eine Sinus- oder Kosinusfunktion verwenden. Da die maximale Höhe 50 cm und die Ausgangsposition 40 cm sind, können wir die Amplitude der Schwingung auf 5 cm (50-40) berechnen.
Um die Frequenz der Schwingung zu berechnen, können wir den gesamten Zeitraum einer Schwingung (die Periode) und die Anzahl der Schwingungen in diesem Zeitraum (die Frequenz) bestimmen. In diesem Fall ist die Periode T = 1 / f = 0,35 s und die Frequenz f = 1 / T = 2,857 Hz.
Da die Schwingung harmonisch ist, und Sinus und Kosinus sich um 90 Grad unterscheiden, und die Ausgangsposition ist die minimale Position also der Cosinus
h(t)=5cos(2πft)+45
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Mal ganz abgesehen von der Geschwindigkeit deiner Beantwortung, herzlichen dank für die Ausführung. Und für mein ganzheitliches Verständnis die Erweiterung dazu: Ermittle, wie lang sich der Sessel jeweils über 48 cm Höhe über dem Boden befindet.
Es müsste h(t) = -5cos(2πft)+45 heißen, denn für t = 0 ist der Sessel ganz unten.
In diesem Fall beginnt der Sessel 40 cm über dem Boden und erreicht eine maximale Höhe von 50 cm. Das bedeutet, dass die Schwingung eine Amplitude von 10 cm hat.
Später richtig mit 5 cm. Mein Kommentar soll bewirken, dass der Fragesteller nicht verwirrt wird.
auch dir herzlichen dank für die rasche Beantwortung. Eventuell auch an dich die Erweiterungsfrage gestellt: Ermittle, wie lang sich der Sessel jeweils über 48 cm Höhe über dem Boden befindet.