Trigonometrie alpha verdoppeln?
Wenn man den Winkel alpha in einem rechtwinkligen Dreieck verdoppelt, verdoppelt sich dann auch tan(alpha)?
4 Antworten
Hallo,
natürlich nicht. Der Tangens von 45° ist 1.
Wenn Deine Theorie richtig wäre, wäre der Tangens von 90°=2*45° demnach 2*1=2.
Der Tangens ist aber das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete.
Wo aber trifft die Gegenkathete auf die Hypotenuse, wenn sie parallel zur Ankathete verläuft, wie es in einem ebenen Dreieck sein müßte, in dem es einen zweiten rechten Winkel gibt? Antwort: Nirgends. Die Gegenkathete würde sich unendlich weit erstrecken, ohne jemals die Hypotenuse zu schneiden und wäre gewiß nicht einfach nur doppelt so lang wie die Ankathete. Deswegen gibt der Taschenrechner eine Fehlermeldung heraus, wenn Du tan (90°) eingibst.
In Wirklichkeit steigt der Tangens für Winkel zwischen 0° und 90° immer steiler an und geht für Winkel gegen 90° gegen unendlich.
Die Verdoppelung eines Winkels bedeutet daher nicht die Verdoppelung des Tangens.
Stattdessen gilt: tan (x+y)=[tan (x)+tan (y)]/[1-tan (x)*tan (y)].
Im Falle x=y=45°, was einer Verdoppelung von 45° auf 90° entspräche,
bekämst Du, da tan (45°)=1, im Nenner 1-1*1=0 und somit eine nicht definierte Division durch Null.
Herzliche Grüße,
Willy
Nicht ganz.
Wenn der Winkel verdoppelt wird, dann verdoppelt sich der Tangens und er wird zusätzlich noch durch 1-tan²(alpha) geteilt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens#Additionstheoreme
Nein, natürlich nicht. Wäre das so, könnte man sich die ganzen WInkelfunktionen sparen.
Kann man aber auch leicht mit ausgewählten Werten draufkommen:
tg(45°) = 1
tg(90°) = unendlich
Nein, es gibt keine proportionale Beziehung zwischen Winkel alpha und dem Tangens von Winkel alpha.