Stochastik - Ein zerbrochener Stab soll ein Dreieck bilden?
Ein Stab wird an zwei vorher zufällig ausgewählten Stellen zerbrochen. (Es wird zweimal unabhängig eine Stelle auf dem gesamten Stab ausgewählt.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus den entstehenden Stabteilen ein Dreieck gebildet werden kann?
3 Antworten
Hallo TableRaw
Nehmen wir der Einfachheit halber die Stablänge 1 und legen wir für die Bruchstelle x bzw. die Bruchstelle y jeweils den Nullpunkt für x und y am linken Stabende fest.. Die Bedingung, dass ein Dreieck gebildet werden kann, bedeutet, dass keines der Bruchstücke >=0,5 sein darf.
Bei der ersten Bruchstelle x besteht die Wahrscheinlichkeit 0,5, dass sie kleiner als 0,5 ist und die Wahrscheinlichkeit 0,5, dass sie größer als 0,5 ist. Das Gleiche gilt für die Bruchstelle y. Damit gibt es folgende 4 Kombinationen mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 0,25 (1/4):
- x<0,5 und y<0,5: Das restliche Stabstück ist >0,5. Es lässt sich kein Dreieck bilden
- x<0,5 und y>0,5: Damit gibt es kein Stabstück >0,5, wenn y-x<0,5 ist (Beispiel: x=0,2, y=0,6 ---> Stücklängen: 0,2; 0,4; 0,4), umgekehrt ergibt sich ein Stabstück >0,5, wenn y-x>0,5 ist (Beispiel x=0,2; y=0,8 ---> Stücklängen 0,2; 0,6; 0,2). Da x und y von einander unabhängig gewählt werden, also beide Werte von 0 bis 1 zufällig verteilt sind, kann y-x zwischen 1 und -1 liegen. Da bei dieser 2. Kombination aber vorgegeben war, dass x<0,5 und y>0,5 sein soll, kann y-x nur zwischen 1 und 0 liegen. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass y-x<0,5 ist und somit ein Dreieck gebildet werden kann, beträgt demnach 0,5.
- x>0,5 und y<0,5: Analog zu Kombination 2, erhält man bei vertauschten x- und y-Werten: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass x-y<0,5 ist und somit ein Dreieck gebildet werden kann, beträgt demnach 0,5.
- x>0,5, y>0,5: Das restliche Stabstück ist >0,5. Es lässt sich kein Dreieck bilden.
Fasst man die Wahrscheinlichkeiten für die Bildung eines Dreiecks aus Kombination 1 bis 4 zusammen, so erhält man:
W = 0,25*0 + 0,25*0,5 + 0,25*0,5 + 0,25*0 = 0,25. Irrtum vorbehalten!
Es grüßt HEWKLDOe.
Gern geschehen. Ich hoffe nur, dass meine Überlegungen richtig sind. Vielleicht schaut sich ja noch einmal ein "echter" Mathematiker die Aufgabe an; ich selbst habe (vor mehr als 60 Jahren) nämlich "nur" ein Ingenieurstudium und kein Mathematikstudium absolviert.
Alles Gute für die Zukunft wünscht HEWKLDOe.
Um ein Dreieck bilden zu können, darf kein Stück länger als 50% der Stablänge sein.
Wenn x die "linke" Bruchstelle ist und y die "rechte", so gilt:
wenn x bei 0% liegt, muss y bei genau 50% liegen, um zumindest noch ein "degeneriertes" Dreieck der Längen 0, 50, 50 bilden zu können.
wenn x bei 50% liegt, darf y zwischen 50% und 100 liegen.
allgemein für 0% <= x <= 50% darf y zwischen 50% und 50%+x liegen
für x>50% gibt es kein Dreieck.
Man kann nun die Anzahl der Möglichkeiten für y in Abhängigkeit von x in einem Graphen eintragen. Für x = 0% gibt es für y = 0% Möglichkeiten, für x = 50% gibt es auch für y =50% Möglichkeiten, wie oben beschrieben.
Es ist ein linearer Zusammenhang zwischen x und y. Die Wahrscheinlichkeit für eine Dreiecksbildung ist das Integral des Graphen von 0 bis 50% im Verhältnis zum gesamten Graphen.
Das Integral ist eine Dreicksfläche mit einer Fläche von 1/8 der Gesamtfläche.
Wenn ich keinen Denkfehler habe, so ist die Wahrscheinlichkeit 1/8.
Auch eine andere Betrachtungsweise führt zu diesem Ergebnis:
x muss im Bereich 0%-50% liegen
y muss im Bereich 50% - 100% liegen
y-x muss im Bereich von 0%-50% liegen.
Jede dieser Einschränkung veringert die Wahrscheinlichkeit auf die Hälfte, gesamt also 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8.
0.5. Das Ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der zweite Bruch in der größeren Hälfte stattfindet.
1.) „größere Hälfte“ ist ein Widerspruch ;-)
„Hälfte“ bedeutet gleich groß
2.) Auch wenn der 2. Bruch im größeren Teil ist, muss das kein Dreieck ergeben.
Bsp.: Stab 1m lang,
erster Bruch: 90cm + 10cm
zweiter Bruch im größeren Teil: 80cm + 10cm + 10cm
Ergibt kein Dreieck.
Vielen Dank für diese ausführliche Antwort :) Das hat mir echt weitergeholfen.