Stimmt dieser Grenzwert?

Ich soll für folgende Aufgabe lim für x-->0 bestimmen:

ax^(a-1) * sin(1/x) - (x^a) / (x^2) * cos(1/x)

Es gilt: a > 1

Im Teil vor dem - hab ich 0 * 0 raus.
Den zweiten Teil (wenn man das darf) hab ich zu x^(a-2) * cos(1/x) umgeschrieben und würde dann auch 0 * 1 kommen. Damit wäre der Grenzwert = 0.

Stimmt das?

Answer 1

[ProfFrink]

Die trigonometrischen Termen fangen mit x -> 0 an sehr stark an zu oszillieren. Sie bleiben aber immer in den Grenzen von [-1 ; +1]. Darum braucht man sich nur für die Potenzfunktionen zu interessieren.

$a\cdot x^{\left(a-1\right)}$ strebt mit x --> 0 sicherlich gegen 0 solange a > 1 gilt.

Bei

$x^{\left(a-2\right)}$ trifft dies aber nur zu wenn a > 2 gilt. Für kleinere a divergiert diese Funktion. Somit kann festgehalten werden, dass der Grenzwert 0 erreicht wird mit der Nebenbedinung a > 2.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung