Stetigkeit von Funktionen?
Kann mir jemand bei Aufgabe 8 helfen? Wir haben das zwar im Unterricht besprochen, aber das ist mittlerweile ewig her und ich verstehe diese Aufgabe einfach nicht.
1 Antwort
Man muss zunächst überlegen, wie die Funktion A(x) lautet, die die Fläche angibt. Es handelt sich um eine abschnittsweise definierte Funktion.
A(x) = x * 1 für x <= 2 und 2 * 1 + (x - 2) * 2 für x > 2
zusammengefasst:
A(x) = x für x <= 2 und 2 * x - 2 für x > 2
Eine Funktion x → f(x) heißt an der Stelle x = x₀ stetig, falls
1) x₀ ϵ D
2) lim (x → x₀+) f(x) = lim (x → x₀-) f(x)
3) lim (x → x₀) f(x) = f(x₀)
zu 1) 2 ϵ D
zu 2) lim (x → 2-) f(x) = 2 ; lim (x → 2+) f(x) = 2 * 2 - 2 = 2
zu 3) f(2) = 2
Folglich ist die Funktion A(x) an der Stelle x = 2 stetig.
Dargestellt in der Skizze ist nur die räumliche Entwicklung des Rechtecks, aber nicht die Funktion, die die Fläche abhängig von x beschreibt.
Grundsätzlich berechnet man die Fläche mit A = a * b = x * f(x), wobei b mit 1 bzw. 2 vorgegeben ist. Da b sich an der Stelle 2 sprunghaft ändert, sind 2 Teilfunktionen erforderlich.
Für x kleiner/gleich 2 berechnet man die Fläche mit x * 1. Für x größer als 2 passt dieser Ansatz nicht mehr, da f(x) = 2 ist.
Für x größer als 2 berechnet man die Fläche mittels (x - 2) * 2 zuzüglich der Fläche für das erste Rechteck, also 2 * 1 + (x - 2) * 2. Das kann man zusammenfassen zu 2 * x - 2.
Die Skizze suggeriert eine Unstetigkeitsstelle bei x = 2. Die Flächenfunktion hat an dieser Stelle aber keinen Sprung, sondern einen Knick. Und der Knick ändert nichts an der Stetigkeit.
Danke für die ausführliche Antwort, jedoch verstehe ich irgendwie nicht, wie man überhaupt auf diese zwei Funktionen kommt (also x und 2x-2), wie lese ich das an der Skizze ab?