Mathe Stetigkeit?
Hallo!
Könnt ihr mir bei der folgenden Aufgabe helfen ? Ich verstehe garnichts …
Danke im Voraus !
2 Antworten
Hallo,
bei Aufgabe a geht es darum, daß Du f(a) nicht direkt berechnen kannst, denn wenn Du für x eine Null in die Funktiionsgleichung einsetzt, bekommst Du als Ergebnis das nicht definierte 0/0.
Du kannst aber prüfen, auf welchen Wert die Funktion von links und rechts zuläuft, wenn man sich f(0) nähert.
Dazu gibst Du Werte ein, die knapp über der Null und unter der Null liegen, also etwa x=±0,01 und siehst, wo Du landest. Je näher der Wert von x an der Null ist, desto näher kommst Du dem tatsächlichen Grenzwert. Interessant ist dann auch, ob der Grenzwert rechts von der Null und der Grenzwert links von der Null übereinstimmen, ob Du also zum Beispiel für x=0,00001 fast dasselbe herausbekommst wie für x=-0,00001. Wenn der Grenzwert rechts und links übereinstimmen, kann die Funktion, die bei x=0 eine Definitionslücke beseitzt, durch eine stetige Funktion ersetzt werden, in der diese Definitionslücke durch den Grenzwert gefüllt wird.
Später wirst Du die Regel von de l'Hospital kennenlernen. Da bei einer Funktion, die gegen Null oder gegen unendlich geht, auch deren Ableitung gegen Null oder unendlich geht (überlege mal, warum), kann man bei Werten wie 0/0 oder unendlich/unendlich Zähler und Nenner durch ihre jeweiligen Ableitungen ersetzen und deren Grenzwert bestimmen.
Die Ableitung von f(x)=2^x-1 ist ln(x)*2^x und die von g(x)=x ist 1.
[ln(2)*2^x]/1 hat aber bei x=0 keine Definitionslücke, sondern bildet den definierten Wert für x=0 ln(2)*2^0/1=ln(2).
Genau dies ist auch der genaue Grenzwert der Funktion für x=0. Er liegt bei rund 0,693.
Herzliche Grüße,
Willy
zu a)
Die Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht definiert (Division durch Null). Was aber passiert, wenn Du Dich der Null von beiden Seiten annäherst? Gefordert ist eine Wertetabelle für x-Werte Nahe Null. Gesucht ist ein Funktionswert (auf 4 Nachkommastellen genau), dem sich die Funktion für x gegen Null annähert. Setze x = 0,1 und x = -0,1 ein. Ist das genau genug? Nein! Setze x = 0,01 und x = -0,01 ein. Ist das genau genug? ...
Also muss ich durch die Zahlen die ich einsetze so nah wie es geht an die 0 kommen?
wie kann ich bei der b) vorangehen?